| Ders Adı | Kodu | Yerel Kredi | AKTS | Ders (saat/hafta) | Uygulama (saat/hafta) | Laboratuar (saat/hafta) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Reel Analize Giriş | MAT3182 | 4 | 7 | 4 | 0 | 0 |
| Önkoşullar | Yok |
|---|
| Yarıyıl | Bahar |
|---|
| Dersin Dili | İngilizce, Türkçe |
|---|---|
| Dersin Seviyesi | Lisans |
| Dersin Türü | Zorunlu @ Matematik Lisans Programı |
| Ders Kategorisi | Temel Meslek Dersleri |
| Dersin Veriliş Şekli | Yüz yüze |
| Dersi Sunan Akademik Birim | Matematik Bölümü |
|---|---|
| Dersin Koordinatörü | Seda Çalışkan |
| Dersi Veren(ler) | |
| Asistan(lar)ı |
| Dersin Amacı | Bu dersin amacı, öğrencilerin reel sayıların özelliklerini derinlemesine öğrenmesini, limit, limsup, liminf, yığılma noktaları, reel sayıların tamlığı ve dış ölçümve iç ölçüm, ölçülebilir fonksiyonlar, Lebesque integrali kavramlarını derinlemesine kavramalarına ve uygulamalarına yardımcı olmaktır. |
|---|---|
| Dersin İçeriği | Reel sayı sistemi: Sayılabilirlik, reel sayılar için aksiyomlar(cisim, tamlık, sıra, Archimed aksiyomları); genişletilmiş reel sayılar; Reel sayıların topolojisi: Açık ve kapalı kümeler; G_delta ve F_sigma kümeleri, reel sayı dizileri; Sürekli Fonksiyonlar: Düzgün süreklilik ve Düzgün yakınsaklık; Ölçümlere Giriş: Bir kümenin alt kümelerinin σ-cebiri; Reel sayıların Borel kümeleri; Lebesgue dış ölçüsü; Ölçülebilir kümelerin σ-cebiri; Borel kümesinin ölçümü; Ölçülemeyen kümeler; Lebesque ölçümü; İç ölçüm ve özellikleri; Ölçülebilir fonksiyonlar: Temel tanım ve teoremler; Ölçümde yakınsama: Temel tanımlar ve özellikler; Lebesque İntegrali: Riemann integrali; Lebesque integrali; Fatou lemması; Genel Lebesque integrali: Lebesque yakınsaklık teoremi; sınırlı yakınsaklık teoremi; Lebesque anlamında integrallenebilirlik; Parametreye bağımlılık; Fonksiyon uzayları; Ölçümlerin Genişlemesi: Temel kavramlar ve teoremler; Ölçümlerin çarpımı. |
| Ders Kitabı / Malzemesi / Önerilen Kaynaklar |
|
| Opsiyonel Program Bileşenleri | Yok |
Ders Öğrenim Çıktıları
- Reel sayıların özelliklerini derinlemesine öğrenebileceklerdir.
- Reel sayıların topolojisi hakkında bilgi sahibi olabilecek, ayrıca reel sayı dizilerinin limitleri, lim sup ve lim inf kavramları, yığılma noktaları, reel sayıların tamlığı hakkında bilgi sahibi olabileceklerdir.
- Düzgün süreklilik ve Düzgün yakınsaklığı ayırt edebileceklerdir.
- Dış ve iç ölçümleri, ölçülebilir ve ölçülemeyen kümeleri ifade edebileceklerdir.
- Ölçülebilir küme ve ölçülebilir fonksiyonlar hakkında bilgi edinebileceklerdir.
- Riemann ve Lebesque integralleri arasındaki farkları anlayabileceklerdir.
- Ölçümde yakınsama nasıl olur, ölçüm neden genişletilmelidir, ölçüm çarpımı nedir öğrenebileceklerdir.
Ders Öğrenim Çıktısı & Program Çıktısı Matrisi
| DÖÇ-1 | DÖÇ-2 | DÖÇ-3 | DÖÇ-4 | DÖÇ-5 | DÖÇ-6 | DÖÇ-7 |
Haftalık Konular ve İlgili Ön Hazırlık Çalışmaları
| Hafta | Konular | Ön Hazırlık |
|---|---|---|
| 1 | Konu Anlatımı: : Reel sayı sistemi: Sayılabilirlik, reel sayılar için aksiyomlar(cisim, tamlık, sıra, Archimed aksiyomları); genişletilmiş reel sayılar. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Cisim ile ilgili basit örnekleme yaptırılması. Sınıf-içi Tartışma(15dk.): Sıralama kavramına ilişkin tartışmanın yapılması | 1. Kümeler ve kümeler üzerinde cebirsel işlemler, bağıntı ve fonksiyonlar konularına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 1-10. 2. Sayılabilirlik, Reel sayılar için aksiyomlar(cisim, tamlık, sıra, Archimed aksiyomları), genişletilmiş reel sayılar konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 11-16 |
| 2 | Konu Anlatımı: Reel sayıların topolojisi: Açık ve kapalı kümeler; G_delta ve F_sigma kümeleri, reel sayı dizileri. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Açık ve kapalı kümeler ile ilgili basit uygulamaların yapılması. Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Topoloji kavramına ilişkin tartışmanın yapılması. | 1. Dizi kavramına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi Kaynak: Ders Kitabı, [1] 532-544 2. Açık ve kapalı kümeler; G_delta ve F_sigma kümeleri, reel sayı dizileri konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 17-31 |
| 3 | Konu Anlatımı: Sürekli Fonksiyonlar: Düzgün süreklilik ve Düzgün yakınsaklık. Sınıf-içi Uygulama (10 dk): Noktasal süreklilik ile düzgün süreklilik farkının gösterilmesi ile ilgili basit uygulamaların yapılması. Sınıf-içi Tartışma (10 dk.): Düzgün süreklilik ve düzgün yakınsaklık kavramlarının sırasıyla süreklilik ve yakınsaklık kavramlarıyla farklarının tartışılması Kısa Sınav 1 (20dk.): Ders sonunda, 1. ve 2. hafta konularını içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Süreklilik, noktasal yakınsaklık, fonksiyon dizileri konularına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, [2] , 218-221 . 2. Sürekli Fonksiyonlar: Düzgün süreklilik ve Düzgün yakınsaklık konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 32-34 3. Kısa Sınav 1: (Reel sayı sistemi ve Açık ve kapalı kümeler; G_delta ve F_sigma kümeleri, reel sayı dizileri kavramları) Kaynak: Ders Kitabı, 1-31. |
| 4 | Konu Anlatımı: Ölçümlere Giriş: Bir kümenin alt kümelerinin σ-cebiri; Reel sayıların Borel kümeleri. Sınıf-içi Uygulama (15 dk): Açık kümelerden başlayarak Borel kümesi oluşturmaya ilişkin uygulamaların yapılması. Sınıf-içi Tartışma (15 dk.): Her açık küme Borel midir, Her Borel küme açık mıdır? Sorularının tartışılması. | 1. Kümelerin birleşim, kesişim, fark, tümleyeni alma, açık-kapalı kümeler konularına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı,[3], 1-3 2. Bir kümenin alt kümelerinin σ-cebiri; Reel sayıların Borel kümeleri konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 45-49 |
| 5 | Konu Anlatımı: Lebesgue dış ölçüsü; Ölçülebilir kümelerin σ-cebiri Sınıf-içi Uygulama (10 dk.): Bir aralığın ölçüsünün bulunmasına ilişkin uygulama yapılması. Sınıf-içi Tartışma (10 dk.): Ölçülebilir kümeler neden σ-cebir oluşturur konusunun tartışılması Kısa Sınav 1 (20dk.): Ders sonunda, 1. haftadan itibaren 4. haftanın sonuna kadar olan konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. σ-cebiri, Borel kümeleri, açık ve kapalı kümelerin ölçülebilirliği konularına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 45-49 2. Lebesgue dış ölçüsü; Lebesgue ölçülebilir kümelerin σ-cebiri konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 49-65 3. Kısa Sınav 2: (Reel sayı sistemi ve Açık ve kapalı kümeler; G_delta ve F_sigma kümeleri, reel sayı dizileri kavramları, . Sürekli Fonksiyonlar: Düzgün sürekli |
| 6 | Konu Anlatımı: Borel kümesinin ölçümü; Ölçülemeyen kümeler; Lebesque ölçümü. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Basit Borel kümeleri (örneğin açık aralıklar, sonlu birleşimler) için ölçü hesaplamalarına ilişkin uygulamalar yapılması. Sınıf-içi Tartışma (15 dk.): Neden her kümenin ölçülemeyeceğinin tartışılması | 1. Ölçülebilir kümeler ve σ-cebir tanımı konularına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 45-65 2. Borel kümesinin ölçümü; Ölçülemeyen kümeler; Lebesque ölçümü konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 65-69 |
| 7 | Konu Anlatımı: İç ölçüm ve özellikleri Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Basit bir küme için dış ve iç ölçümün hesaplanması / karşılaştırılmasına ilişkin uygulama yapılması. Sınıf-içi Tartışma (15 dk.): Neden hem iç hem dış ölçümün tanımlandığının tartışılması | 1. Lebesgue dış ölçümü, ölçülebilir kümeler konularına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 45-69 2. İç ölçüm ve özelliklerini içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 70-76 |
| 8 | Ara Sınav 1 | |
| 9 | Konu Anlatımı: Ölçülebilir fonksiyonlar: Temel tanım ve teoremler. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Çeşitli fonksiyonların ölçülebilirliğinin incelenmesine ait uygulamaların yapılması. Sınıf-içi Tartışma (15 dk.): Fonksiyonun "sürekliliği" ile ölçülebilirlik arasında nasıl bir ilişki olduğunun tartışılması. | 1. Fonksiyon kavramı, fonksiyonlarda cebirsel işlemler konularına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, [1], 1-11 2. Ölçülebilir fonksiyonlar: Temel tanım ve teoremler konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı,77-84. |
| 10 | Konu Anlatımı: Ölçümde yakınsama: Temel tanımlar ve özellikler. Sınıf-içi Uygulama (15 dk): Verilen fonksiyon dizilerinin yakınsama türlerinin belirlenmesine ilişkin uygulamaların yapılması. Sınıf-içi Tartışma (15 dk.): Noktada yakınsama ile ölçümde yakınsama arasındaki farkın tartışılması. | 1. Ölçülebilir fonksiyonlar konusuna ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 77-84. 2. Ölçümde yakınsama: Temel tanımlar ve özellikler konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 86-92. |
| 11 | Konu Anlatımı: Lebesque İntegrali: Riemann integrali; Lebesque integrali; Fatou lemması. Sınıf-içi Uygulama (10 dk.): Verilen bir fonksiyonun hem Riemann hem de Lebesque integrallerinin hesaplanmasına ilişkin uygulamaların yapılması Sınıf-içi Tartışma (10 dk.): Lebesgue İntegrali mi, Riemann İntegrali mi daha güçlüdür konusunun tartışılması. Kısa Sınav 1 (20dk.): Ders sonunda, 9. hafta ve 10. haftanın konuları içeren bir kısa sınavın yapılması. | 1. Riemann integrali tanımı (alt ve üst toplamlar, integrallenebilirlik koşulu) konularına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, [1], 246-261 2. Lebesque İntegrali: Riemann integrali; Lebesque integrali; Fatou lemması konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 94-108 3. Kısa Sınav 3: (Ölçülebilir fonksiyonlar: Temel tanım ve teoremler, ölçümde yakınsama: temel tanımlar ve özellikler). Kaynak: Ders Kitabı,77-92 |
| 12 | Konu Anlatımı: Genel Lebesque integrali: Lebesque yakınsaklık teoremi; sınırlı yakınsaklık teoremi; Lebesque anlamında integrallenebilirlik. Sınıf-içi Uygulama:(15 dk.) Verilen fonksiyon dizilerine yakınsaklık teoremlerinin uygulanıp uygulanmadığına ilişkin örneklerin ele alınması. Sınıf-içi Tartışma: (15 dk.) Teoremlerin hipotezlerinin neden “zorunlu” olduğunun tartışılması. | 1. Noktasal yakınsaklık ve integralde yakınsaklık türleri konusuna ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, [1], 46-63, 478-486, 2. Genel Lebesque integrali: Lebesque yakınsaklık teoremi; sınırlı yakınsaklık teoremi; Lebesque anlamında integrallenebilirlik. konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 109-112 |
| 13 | Konu Anlatımı: Parametreye bağımlılık; Fonksiyon uzayları. Sınıf-içi Uygulama: (10 dk) Parametreye bağlı fonksiyonların integrallenebilirliğine ilişkin uygulamaların yapılması. Sınıf-içi Tart ışma: (10 dk.) Fonksiyonlar üzerindeki işlemlerin parametreyle değişen fonksiyonlar için de her zaman geçerli olup olmadığının tartışılması. Kısa Sınav 4 (20 dk.) Ders sonunda 9. Haftadan itibaren 12. Haftanın sonuna kadar olan konuları içeren bir kısa sınavın yapılması. | 1. Fonksiyonların tanım kümeleri ve norm konularına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, [1], 1-11; [3], 181-185. 2. Parametreye bağımlılık;Fonksiyon uzayları konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 113-128. 3. Kısa Sınav 4: (Ölçülebilir fonksiyonlar: Temel tanım ve teoremler, ölçümde yakınsama: temel tanımlar ve özellikler, Lebesque İntegrali: Riemann integrali; Lebesque integrali; Fatou lemması , Genel Lebesque in |
| 14 | Konu Anlatımı: Ölçümlerin Genişlemesi: Temel kavramlar ve teoremler. Sınıf-içi Uygulama: (15 dk) Ayrıştırma ve genişleme teoremlerine ait uygulamaların yapılması. Sınıf-içi Tartışma: (15 dk.) Ölçüyü genişletmek neden gereklidir üzerine tartışılması. | 1. Sigma cebiri, sayılabilirlik ve ölçülebilirlik konularına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 11-16, 45-65, 2. Ölçümlerin Genişlemesi: Temel kavramlar ve teoremler konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 131-135. |
| 15 | Konu Anlatımı: Ölçümlerin çarpımı. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Verilen bir fonksiyona Fubini veya Tonelli teoremlerinin uygulanabilirliğine ilişkin uygulama yapılması. Sınıf-içi Tartışma (15 dk.): Çift katlı integralde neden ölçü teorisini genişletmemiz gerektiğinin tartışılması. | . 1. Ölçülebilir fonksiyonlar konusuna ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 77-84 2. Ölçümlerin çarpımı konusunu içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 136-138. |
| 16 | Final |
Değerlendirme Sistemi
| Etkinlikler | Sayı | Katkı Payı |
|---|---|---|
| Devam/Katılım | ||
| Laboratuar | ||
| Uygulama | ||
| Arazi Çalışması | ||
| Derse Özgü Staj | ||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 4 | 20 |
| Ödev | ||
| Sunum/Jüri | ||
| Projeler | ||
| Seminer/Workshop | ||
| Ara Sınavlar | 1 | 40 |
| Final | 1 | 40 |
| Dönem İçi Çalışmaların Başarı Notuna Katkısı | ||
| Final Sınavının Başarı Notuna Katkısı | ||
| TOPLAM | 100 | |
AKTS İşyükü Tablosu
| Etkinlikler | Sayı | Süresi (Saat) | Toplam İşyükü |
|---|---|---|---|
| Ders Saati | 14 | 4 | |
| Laboratuar | |||
| Uygulama | |||
| Arazi Çalışması | |||
| Sınıf Dışı Ders Çalışması | 14 | 7 | |
| Derse Özgü Staj | |||
| Ödev | |||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 4 | 3 | |
| Projeler | |||
| Sunum / Seminer | |||
| Ara Sınavlar (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 25 | |
| Final (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 25 | |
| Toplam İşyükü : | |||
| Toplam İşyükü / 30(s) : | |||
| AKTS Kredisi : | |||
| Diğer Notlar | Yok |
|---|
