| Ders Adı | Kodu | Yerel Kredi | AKTS | Ders (saat/hafta) | Uygulama (saat/hafta) | Laboratuar (saat/hafta) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Tensör Cebiri | MAT4380 | 3 | 5 | 3 | 0 | 0 |
| Önkoşullar | Yok |
|---|
| Yarıyıl | Güz, Bahar |
|---|
| Dersin Dili | İngilizce, Türkçe |
|---|---|
| Dersin Seviyesi | Lisans |
| Dersin Türü | Seçmeli @ Matematik Lisans Programı |
| Ders Kategorisi | Temel Meslek Dersleri |
| Dersin Veriliş Şekli | Yüz yüze |
| Dersi Sunan Akademik Birim | Matematik Bölümü |
|---|---|
| Dersin Koordinatörü | Fatma KARACA |
| Dersi Veren(ler) | Salim Yüce, Mustafa Düldül, Fatma KARACA |
| Asistan(lar)ı |
| Dersin Amacı | Bu dersin amacı, öğrencilerin çoklu lineer yapılar ve tensör kavramı etrafında şekillenen temel cebirsel yapıları kavramalarını sağlamaktır. Vektör uzayları, lineer dönüşümler ve tensörlerle ilişkili cebirsel işlemler aracılığıyla, ileri matematiksel düşünme becerilerinin geliştirilmesi hedeflenmektedir. Bu sayede öğrencilerin, ileri düzey lineer cebir ve diferansiyel geometri gibi alanlarda kullanılabilecek tensörel yapılar hakkında kuramsal ve uygulamalı bilgiye sahip olmaları hedeflenmektedir. |
|---|---|
| Dersin İçeriği | Vektör uzayları, lineer dönüşümler, dual vektör uzayı ve dual dönüşüm; tensörler ve çok lineer formlar, iki çok lineer fonksiyonun tensörel çarpımı, vektör uzaylarının tensörel çarpımı; tensör çeşitleri; kontraksiyon operatörü (daraltma fonksiyonu); iki tensör uzayınının tensörel çarpımı, tensör cebiri; simetrik tensörler ve simetrileyen operatör; simetrik çarpım ve simetrik cebir; alterne tensör ve alterneleyen operatör; dış çarpım; dış cebir; dış çarpım uzayı ve dış cebirin boyutları, ikinci mertebeden reel dış çarpım uzayı; özel bir dış çarpım örneği (vektörel çarpım). |
| Ders Kitabı / Malzemesi / Önerilen Kaynaklar |
|
| Opsiyonel Program Bileşenleri | Yok |
Ders Öğrenim Çıktıları
- Çok lineer dönüşümler ve tensörleri analiz ederek değerlendirmelerde bulunabileceklerdir.
- Tensör tanımı ve iki çok lineer fonksiyonun tensörel çarpımını ifade ederek uygulayabileceklerdir.
- İki ve ikiden fazla vektör uzayının tensörel çarpımını ifade ederek tensör çeşitleri, kontraksiyon operatörü (daraltma fonksiyonu) tanımını yapabileceklerdir.
- Tensör cebiri, simetrik tensörler ve simetrileyen operatör tanımlarını yorumlayarak uygulamalarda kullanabileceklerdir.
- Simetrik çarpım, simetrik cebir, alterne tensör ve alterneleyen operatör tanımlarını yorumlayarak uygulamalarda kullanabileceklerdir.
- Dış çarpım, dış cebir, dış çarpım uzayı, dış cebirin boyutları ve özel bir dış çarpım örneği olarak vektörel çarpım kavramlarını ifade ederek ilgili matematiksel hesaplamaları gerçekleştirebileceklerdir.
Ders Öğrenim Çıktısı & Program Çıktısı Matrisi
| DÖÇ-1 | DÖÇ-2 | DÖÇ-3 | DÖÇ-4 | DÖÇ-5 | DÖÇ-6 |
Haftalık Konular ve İlgili Ön Hazırlık Çalışmaları
| Hafta | Konular | Ön Hazırlık |
|---|---|---|
| 1 | Konu Anlatımı: Vektör uzayları, lineer dönüşümler, dual vektör uzayı ve dual dönüşüm Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Vektör uzayı ve lineer dönümlere ilişkin basit örnekleme yaptırılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Lineer dönüşüm kavramının Matematik içinde ve diğer disiplinlerde kullanım alanıyla ilgili | 1. Grup, halka ve cisim kavramlarına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması. Kaynak: [3], 2-10. 2. Vektör uzayları, lineer dönüşümler, dual vektör uzayı ve dual dönüşüm konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 1-12. |
| 2 | Konu Anlatımı: Tensörler ve çok lineer formlar, iki çok lineer fonksiyonun tensörel çarpımı, vektör uzaylarının tensörel çarpımı Sınıf-içi Uygulama (5 dk): Tensörel çarpımın hesaplanması üzerine uygulamalar yaptırılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): “Çok lineerlik, lineerlikten ne kadar farklıdır?” ile "Tensörel çarpım, çarpmanın ne tür bir genellemesidir?" konuları üzerine tartışma yapılması | 1. Çok lineer fonksiyon (iç çarpım, determinant, vb.) kavramına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması. Kaynak: [3], 215-222; 226-235. 2. Tensörler ve çok lineer formlar, İki Çok Lineer Fonksiyonun Tensörel çarpımı, Vektör uzaylarının tensörel çarpımı konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 13-18. |
| 3 | Konu Anlatımı: Tensör çeşitleri: kovaryant tensörler, kovaryant tensörlerin bileşenleri Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Kovaryant tensörleri belirleme üzerine uygulamalar yaptırılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Reel vektör uzayı üzerinde tanımlanan iç çarpım fonksiyonunun ne tür bir tensör olduğu üzerine tartışma yapılması Kısa Sınav 1 (15-20 dk.): Ders sonunda, 1-3. haftalarda derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Matris transpozu ve tersinin nasıl çalıştığına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması. Kaynak: [3], 107-110. 2. Tensör çeşitleri: kovaryant tensörler, kovaryant tensörlerin bileşenleri konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 18-20. 3. Kısa Sınav 1: (vektör uzayları, lineer dönüşümler, dual vektör uzayı ve dual dönüşüm, tensörler ve çok lineer formlar, iki çok lineer fonksiyonun tensörel çarpımı, vektör uzaylarının tensörel çarpımı, tensör çeşitleri) Kaynak: D |
| 4 | Konu Anlatımı: Tensör çeşitleri: kontravaryant tensörler, kontravaryant tensörlerin bileşenleri Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Kontravaryant tensörleri belirleme üzerine uygulamalar yaptırılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Dual vektör uzayının elemanları ile kontravaryant tensörlerin ilişkisi üzerine tartışma yapılması | 1. Matrislerin tersinin rolüne ilişkin ön bilgilerin hatırlanması. Kaynak: [3], 107-110. 2. Tensör çeşitleri: kontravaryant tensörler, kontravaryant tensörlerin bileşenleri konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 21-23. |
| 5 | Konu Anlatımı: Tensör çeşitleri: karışık tensörler Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Tensör tiplerini belirleme üzerine uygulamalar yaptırılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): "Tensörlerin tipi (r,s) bize ne anlatır?" konusu üzerine tartışma yapılması | 1. Baz ve dual baz arasındaki ilişkiye ait ön bilgilerin hatırlanması. Kaynak: [3], 70-84. 2. Tensör çeşitleri: karışık tensörler, konusunu içeren bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 23-24. |
| 6 | Konu Anlatımı: Kontraksiyon operatörü (daraltma fonksiyonu) Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Kontraksiyon üzerine uygulamalar yapılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): "Kontraksiyon işlemi, tensörün hangi özelliklerini korur?" konusu üzerine tartışmanın yapılması Kısa Sınav 2 (15-20 dk.): Ders sonunda, 4-6. haftalarda derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Kronecker deltanın anlamına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması. Kaynak: [3], 56-65. 2. Kontraksiyon operatörü (Daraltma fonksiyonu) konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 28-29. 3. Kısa Sınav 2: (tensör çeşitleri ve Kontraksiyon operatörü) Kaynak: Ders Kitabı, 21-24; 28-29. |
| 7 | Konu Anlatımı: İki tensör uzayınının tensörel çarpımı, tensör cebiri Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Tensör cebirinin örnekler üzerinde uygulanması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): “Tensör cebirinde yer alan tüm elemanlar fiziksel veya geometrik anlam taşır mı?” başlığı üzerine tartışmanın yapılması | 1. Direkt toplam ve direkt çarpım kavramına ait ön bilgilerin hatırlanması. Kaynak: [3], 90-95; 552-557. 2. Tensör cebiri konusunu içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 29-31. |
| 8 | Ara Sınav 1 | |
| 9 | Konu Anlatımı: Simetrik tensörler ve simetrileyen operatör Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Simetrileyen operatör ile ilgili uygulamaların yaptırılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Matematik ve fizikte hangi kavramlar simetrik tensörlerle ifade edilir? başlığı üzerine tartışmanın yapılması | 1. Permütasyon fonksiyonu kavramına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması. Kaynak: [3], 212-215. 2. Simetrik tensörler ve simetrileyen operatör içeren bölümlerin okunması Kaynak: Ders Kitabı, 32-36. |
| 10 | Konu Anlatımı: Simetrik çarpım ve simetrik cebir Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Simetrik cebir konusunda uygulamasının yaptırılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): “Simetrik cebir ile tensör cebir arasındaki fark nedir?” konusu üzerine tartışma yapılması Kısa Sınav 3 (15-20 dk.): Ders sonunda, 9-10. haftalarda derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Permütasyon ve indislerin yer değiştirmesi kavramlarına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması. Kaynak: [3], 212-215. 2. Simetrik çarpım ve simetrik cebir konusunu içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 37-39. 3. Kısa Sınav 3: (simetrik tensörler ve simetrileyen operatör, simetrik çarpım, simetrik cebir) Kaynak: Ders Kitabı, 32-39. |
| 11 | Konu Anlatımı: Alterne tensör ve alterneleyen operatör Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Alterneleyen operatör ile ilgili uygulamaların yaptırılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): "Alterneleme işlemi neden geometri ve fizik için önemlidir?" başlığı üzerine tartışmanın yapılması | 1. Çok lineer fonksiyonlarda simetri/antisimetri kavramlarına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması. Kaynak: [3], 215-220. 2. Alterne tensör ve alterneleyen operatör konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 41-46. |
| 12 | Konu Anlatımı: Dış çarpım Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Dış çarpımın hesaplanması üzerine uygulama yaptırılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): “Dış çarpımın geometrik anlamı nedir?” konusu üzerine tartışmasının yapılması | 1. Determinantın antisimetri özelliğine ilişkin ön bilgilerin hatırlanması. Kaynak: [3], 226-233. 2. Dış çarpım konusunu içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 46-51. |
| 13 | Konu Anlatımı: Dış cebir Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Dış cebir üzerine uygulama yaptırılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): “Dış cebir ile tensör cebiri arasındaki ilişki nedir?” konusunun tartışmasının yapılması Kısa Sınav 4 (15-20 dk.): Ters yüz edilmiş öğrenme (flipped learning) yöntemi çerçevesinde, ders başında, öğrenciye verilen ön hazırlık görevinde yer alan konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Permütasyonlar ve işaretlerine ilişkin ön bilgilerin hatırlanması. Kaynak: [3], 212-215. 2. Dış cebir konusunu içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 51-56. 3. Kısa Sınav 4: (dış cebir) Kaynak: Ders Kitabı, 51-56. |
| 14 | Konu Anlatımı: Dış çarpım uzayı ve dış cebirin boyutları, ikinci mertebeden reel dış çarpım uzayı Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Dış çarpım uzayı ve dış cebirin boyutları üzerine uygulama yapılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Reel dış çarpım uzayı ne ifade eder üzerine tartışma yapılması | 1. Dış çarpım ile geometrik büyüklük (alan, hacim) arasındaki ilişkiye ait ön bilgilerin hatırlanması. Kaynak: [1], 124-133. 2. Dış çarpım uzayı ve dış cebirin boyutları, ikinci mertebeden reel dış çarpım uzayı konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 57-64. |
| 15 | Konu Anlatımı: Özel bir dış çarpım örneği (vektörel çarpım) Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Dış çarpımdan vektörel çarpıma geçiş ile ilgili uygulama yaptırılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): "Vektörel çarpım sadece 3-boyutlu uzayda mı tanımlıdır?" ve “Vektörel çarpımın geometrik anlamı neyi ifade eder?” konularının tartışmasının yapılması | 1. Skaler çarpım ve determinant kavramlarına ait ön bilgilerin hatırlanması. Kaynak: [3], 226-235; 347-348. 2. Özel bir dış çarpım örneği (vektörel çarpım) konusunu içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 65-67. 3. Matlab, Maple, Mathematica veya Python dillerini kullanarak vektörel çarpımın hesaplanması ve vektörel çarpımın 3B görselleştirilmesini yapan kodların hazırlanması ve örneklendirilmesi. |
| 16 | Final |
Değerlendirme Sistemi
| Etkinlikler | Sayı | Katkı Payı |
|---|---|---|
| Devam/Katılım | ||
| Laboratuar | ||
| Uygulama | ||
| Arazi Çalışması | ||
| Derse Özgü Staj | ||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 4 | 20 |
| Ödev | ||
| Sunum/Jüri | ||
| Projeler | ||
| Seminer/Workshop | ||
| Ara Sınavlar | 1 | 40 |
| Final | 1 | 40 |
| Dönem İçi Çalışmaların Başarı Notuna Katkısı | ||
| Final Sınavının Başarı Notuna Katkısı | ||
| TOPLAM | 100 | |
AKTS İşyükü Tablosu
| Etkinlikler | Sayı | Süresi (Saat) | Toplam İşyükü |
|---|---|---|---|
| Ders Saati | 14 | 3 | |
| Laboratuar | |||
| Uygulama | |||
| Arazi Çalışması | |||
| Sınıf Dışı Ders Çalışması | 14 | 3 | |
| Derse Özgü Staj | |||
| Ödev | |||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 4 | 4 | |
| Projeler | |||
| Sunum / Seminer | |||
| Ara Sınavlar (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 25 | |
| Final (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 35 | |
| Toplam İşyükü : | |||
| Toplam İşyükü / 30(s) : | |||
| AKTS Kredisi : | |||
| Diğer Notlar | Yok |
|---|
