| Ders Adı | Kodu | Yerel Kredi | AKTS | Ders (saat/hafta) | Uygulama (saat/hafta) | Laboratuar (saat/hafta) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Cebirsel Geometriye Giriş | MAT4490 | 3 | 5 | 3 | 0 | 0 |
| Önkoşullar | Yok |
|---|
| Yarıyıl | Güz, Bahar |
|---|
| Dersin Dili | İngilizce, Türkçe |
|---|---|
| Dersin Seviyesi | Lisans |
| Dersin Türü | Seçmeli @ Matematik Lisans Programı |
| Ders Kategorisi | Temel Meslek Dersleri |
| Dersin Veriliş Şekli | Yüz yüze |
| Dersi Sunan Akademik Birim | Matematik Bölümü |
|---|---|
| Dersin Koordinatörü | Murat Alan |
| Dersi Veren(ler) | Murat Alan |
| Asistan(lar)ı |
| Dersin Amacı | Bu dersin amacı, öğrencilerin daha önce teorik olarak öğrenmiş oldukları cebirsel kavramları kullanarak cebirsel geometriye giriş yapmalarını sağlamaktır. Ders boyunca öğrenciler, cebirsel kümeler, idealler, koordinat halkaları, projektif uzay ve Zariski topolojisi gibi temel kavramlarla tanışacak; Hilbert’in taban teoremi, Hilbert’in Nullstellensatz teoremi ve cebirsel kümelerle idealler arasındaki ilişkiyi öğreneceklerdir. Ayrıca affine ve projektif varyetelerin boyutu, lokal halkalar, rasyonel fonksiyonlar ve teğet uzay gibi ileri kavramlar işlenecektir. Dersin diğer bir amacı, öğrencilere yalnızca teknik bilgi kazandırmak değil, aynı zamanda cebirsel yöntemlerle geometrik problemlerin nasıl çözümlenebileceğini göstermek ve geometri ile cebir arasındaki derin bağı vurgulamaktır. Bu sayede öğrenciler soyut cebirsel kavramların geometrik yorumlarını görecek, analitik düşünme, problem çözme ve ispat yapma becerilerini geliştireceklerdir. |
|---|---|
| Dersin İçeriği | Cebirsel tanımlar; Hilbert Taban Teoremi ve Nullstellensatz; affine cebirsel kümeler ve Zariski topolojisi; cebirsel kümeler ve idealler arasındaki ilişki; koordinat halkaları ve affine/projektif varyeteler; lokal halkalar; rasyonel fonksiyonlar ve teğet uzay. |
| Ders Kitabı / Malzemesi / Önerilen Kaynaklar |
|
| Opsiyonel Program Bileşenleri | Yok |
Ders Öğrenim Çıktıları
- Cebirsel kümeler, idealler ve koordinat halkaları gibi temel cebirsel geometri kavramlarını tanımlayabileceklerdir.
- Hilbert’in Taban Teoremi ve Hilbert’in Nullstellensatz’ını yorumlayarak bu teoremlerin uygulamalarını örneklendirebileceklerdir.
- Zariski topolojisinin özelliklerini ve cebirsel kümeler üzerindeki rolünü analiz edebileceklerdir.
- Affine ve projektif varyetelerin tanımlarını yaparak, bunların boyut kavramını açıklayabileceklerdir.
- Lokal halkaların temel özelliklerini ve cebirsel variyetler üzerindeki işlevlerini analiz edebileceklerdir.
- Rasyonel fonksiyonları tanımlayarak, bu fonksiyonların cebirsel kümeler üzerindeki rolünü analiz edebileceklerdir.
- Teğet uzay kavramını tanımlayarak, düzgün ve tekil noktalar arasındaki farkı açıklayabileceklerdir.
- Cebirsel yöntemleri kullanarak geometrik problemlere çözüm üretip, ispat yapma becerisini geliştirebileceklerdir.
- Cebirsel geometri kavramlarını modern matematikteki diğer disiplinlerle (ör. kompleks geometri, diferansiyel geometri, cebirsel sayı teorisi) ilişkilendirebileceklerdir.
Ders Öğrenim Çıktısı & Program Çıktısı Matrisi
| DÖÇ-1 | DÖÇ-2 | DÖÇ-3 | DÖÇ-4 | DÖÇ-5 | DÖÇ-6 | DÖÇ-7 | DÖÇ-8 | DÖÇ-9 |
Haftalık Konular ve İlgili Ön Hazırlık Çalışmaları
| Hafta | Konular | Ön Hazırlık |
|---|---|---|
| 1 | Konu Anlatımı: Cebirsel tanımlar Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Küçük polinom halkaları için örneklerin verilmesi Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Cebir ile geometri arasındaki ilk bağların tartışılması | 1. Cebirsel tanımları içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 1–15. |
| 2 | Konu Anlatımı: Hilbert Taban Teoremi, affine cebirsel kümeler Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): İdeallerin sonlu üreteçlerle ifade edilmesi Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Hilbert Taban Teoremi’nin öneminin tartışılması Kısa Sınav 1 (15 dk.): Ders sonunda, derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Hilbert Taban Teoremi, affine cebirsel kümeler konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 16–28. |
| 3 | Konu Anlatımı: Zariski topolojisi Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Affine düzlemde kapalı kümeler örneklerinin verilmesi Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Zariski topolojisinin klasik topolojiden farkının tartışılması | 1. Zariski topolojisi konusunu içeren bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 29–42. |
| 4 | Konu Anlatımı: Hilbert Nullstellensatz, cebirsel kümeler ve idealler Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Küçük örneklerde radikal ideal hesaplanması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Nullstellensatz’ın geometrik yorumunun tartışılması Kısa Sınav 2 (15 dk.): Ders sonunda, derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Hilbert Nullstellensatz, cebirsel kümeler ve idealler konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 43–58. |
| 5 | Konu Anlatımı: Koordinat halkası ve indirgenemez cebirsel kümeler, affine varyetelerin boyutu Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Koordinat halkasının inşasının yapılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Boyut kavramının geometrik yorumunun tartışılması | 1. Koordinat halkası ve indirgenemez cebirsel kümeler, konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 59–74. |
| 6 | Konu Anlatımı: Projektif uzay Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): P^2 üzerindeki noktaların tanımının yapılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Affine ve projektif uzay arasındaki farkın tartışılması Kısa Sınav 3 (15 dk.): Ders başında, öğrenciye verilen ön hazırlık görevinde yer alan konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Projektif uzay konusunu içeren bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 75–90. |
| 7 | Konu Anlatımı: Projektif cebirsel kümeler Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Homojen polinomlarla tanımlanan kümelerin verilmesi Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Projektif cebirsel kümelerin avantajlarının tartışılması | 1. Projektif cebirsel kümeler konularını içeren bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 91–110. |
| 8 | Ara Sınav 1 | |
| 9 | Konu Anlatımı: Lokal halkalar Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Küçük bir affine varyete için lokal halka örneğinin verilmesi Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Lokal halkaların geometrik yorumunun tartışılması | 1. Lokal halkalar konusunu içeren bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 111–130. |
| 10 | Konu Anlatımı: Problemler Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Kitaptaki seçilmiş problem çözümlerinin yapılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Çözüm yöntemlerinin karşılaştırılması üzerine bir tartışma yapılması Kısa Sınav 4 (15 dk.): Ders başında, öğrenciye verilen ön hazırlık görevinde yer alan konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Çeşitli problemlerin çalışılması. Kaynak: Ders Kitabı, 131–145. |
| 11 | Konu Anlatımı: Rasyonel fonksiyonlar Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Affine düzlemde rasyonel fonksiyon örneklerinin verilmesi Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Rasyonel fonksiyonların geometrik yorumunun tartışılması | 1. Rasyonel Fonksiyonlar konusunu içeren bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 146–165. |
| 12 | Konu Anlatımı: Rasyonel fonksiyonlar (devam) Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Daha ileri rasyonel fonksiyon örneklerinin verilmesi Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Rasyonel fonksiyonların varyeteler üzerindeki rolünün tartışılması Kısa Sınav 5 (15 dk.): Ders sonunda, derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Rasyonel fonksiyonlar konusunu içeren bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 166–180. |
| 13 | Konu Anlatımı: Teğet uzay Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Küçük örnekler için teğet uzay hesaplamalarının yapılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Düzgün ve tekil noktaların ayrımının tartışılması | 1. Teğet uzay konusunu içeren bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 181–195. |
| 14 | Konu Anlatımı: Genel tekrar ve final hazırlığı Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Önceki sınav sorularının tartışılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Genel tekrar ve dersin bütünlüğü üzerine bir tartışma yapılması Kısa Sınav 6 (15 dk.): Genel tekrarı yapılan konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Tüm bölümlerin genel tekrar edilmesi |
| 15 | Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Programlama dillerinin tanıtılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Programlama dillerinin bilinmesinin öneminin tartışılması | 1. Matlab, Maple veya Python dillerinin birinde dersin konuları üzerine yapılacak bir uygulamanın kodlarının hazırlanması ve örneklendirilmesi. |
| 16 | Final |
Değerlendirme Sistemi
| Etkinlikler | Sayı | Katkı Payı |
|---|---|---|
| Devam/Katılım | 14 | 5 |
| Laboratuar | ||
| Uygulama | 1 | 15 |
| Arazi Çalışması | ||
| Derse Özgü Staj | ||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 6 | 20 |
| Ödev | ||
| Sunum/Jüri | ||
| Projeler | ||
| Seminer/Workshop | ||
| Ara Sınavlar | 1 | 20 |
| Final | 1 | 40 |
| Dönem İçi Çalışmaların Başarı Notuna Katkısı | ||
| Final Sınavının Başarı Notuna Katkısı | ||
| TOPLAM | 100 | |
AKTS İşyükü Tablosu
| Etkinlikler | Sayı | Süresi (Saat) | Toplam İşyükü |
|---|---|---|---|
| Ders Saati | 14 | 3 | |
| Laboratuar | |||
| Uygulama | 1 | 4 | |
| Arazi Çalışması | |||
| Sınıf Dışı Ders Çalışması | 14 | 4 | |
| Derse Özgü Staj | |||
| Ödev | |||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 6 | 3 | |
| Projeler | |||
| Sunum / Seminer | |||
| Ara Sınavlar (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 10 | |
| Final (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 17 | |
| Toplam İşyükü : | |||
| Toplam İşyükü / 30(s) : | |||
| AKTS Kredisi : | |||
| Diğer Notlar | Yok |
|---|
