| Ders Adı | Kodu | Yerel Kredi | AKTS | Ders (saat/hafta) | Uygulama (saat/hafta) | Laboratuar (saat/hafta) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Cebir 2 | MAT2092 | 4 | 6 | 4 | 0 | 0 |
| Önkoşullar | Yok |
|---|
| Yarıyıl | Bahar |
|---|
| Dersin Dili | İngilizce, Türkçe |
|---|---|
| Dersin Seviyesi | Lisans |
| Dersin Türü | Zorunlu @ Matematik Lisans Programı |
| Ders Kategorisi | Temel Meslek Dersleri |
| Dersin Veriliş Şekli | Yüz yüze |
| Dersi Sunan Akademik Birim | Matematik Bölümü |
|---|---|
| Dersin Koordinatörü | Murat Alan |
| Dersi Veren(ler) | A. Göksel Ağargün, Gürsel Yeşilot, Murat Alan, Bayram Ali Ersoy, Emre Kolotoğlu |
| Asistan(lar)ı |
| Dersin Amacı | Bu dersin amacı, öğrencilere grup teorisi temelinin üzerine modern cebirin ikinci temel taşı olan halka teorisini inşa etmektir. Ders, halkaların temel yapısal özelliklerini (althalkalar, idealler, homomorfizmalar) derinlemesine inceleyerek öğrencilere soyut cebirsel yapıları analiz etme yeteneği kazandırmayı hedefler. Özellikle, tamlık bölgeleri, cisimler, bölüm halkaları ve izomorfizma teoremleri gibi temel kavramlar üzerinde durulacaktır. Dersin ikinci yarısında ise, polinom halkaları ve bu halkalardaki çarpanlara ayırma özellikleri (Öklid Bölgesi, Temel İdeal Bölgesi, Tek Türlü Çarpanlara Ayrılabilen Bölge) arasındaki hiyerarşik ilişki incelenecektir. Ayrıca öğrencilerin asal ve maksimal idealler gibi ileri düzey kavramları anlamaları ve bu kavramların halka yapılarını nasıl belirlediğini kavramaları amaçlanmaktadır. |
|---|---|
| Dersin İçeriği | Halkalar, althalkalar, idealler, birimsel elemanlar ve sıfır bölenler; tamlık bölgeleri ve cisimler; bölüm halkaları ve halka homomorfizmaları, izomorfizma teoremleri; polinom halkaları, bölme algoritması ve kök/faktör teoremleri; Öklid bölgeleri, temel ideal bölgeleri (TİB) ve tek türlü çarpanlara ayrılabilen bölgeler (TÇA) arasındaki ilişkiler; indirgenemez ve asal elemanlar; asal ve maksimal idealler ve bunların bölüm halkalarıyla ilişkisi. |
| Ders Kitabı / Malzemesi / Önerilen Kaynaklar |
|
| Opsiyonel Program Bileşenleri | Yok |
Ders Öğrenim Çıktıları
- Halka, alt halka, ideal, birimsel ve sıfır-bölen gibi temel cebirsel kavramları tanımlayarak, bu yapıları somut örnekler (Z,
- Bir halkanın tamlık bölgesi veya cisim olup olmadığını belirleyerek, bu iki yapı arasındaki temel farkları ve ilişkileri ispatlarıyla birlikte açıklayabileceklerdir.
- Bir ideal aracılığıyla bölüm halkasını inşa edip; halka homomorfizmalarını tanımlayarak ve Temel İzomorfizma Teoremlerini kullanarak farklı cebirsel yapıların aslında birbirine denk olduğunu gösterebileceklerdir.
- Polinom halkaları üzerinde bölme algoritmasını uygulayarak, bir polinomun belirli bir halkadaki köklerini bulmak için Faktör Teoremi'ni kullanabileceklerdir.
- Öklid Bölgesi (ÖB), Temel İdeal Bölgesi (TİB) ve Tek Türlü Çarpanlara Ayrılabilen Bölge (TÇA) tanımlarını yapıp; ÖB ⊂ TİB ⊂ TÇA hiyerarşisini ispatlarıyla birlikte kurarak, bu halka sınıflarına örnekler verebileceklerdir.
- Verilen bir tamlık bölgesinde indirgenemez ve asal eleman kavramlarını ayırt ederek, bu elemanların TÇA'lardaki rolünü açıklayabileceklerdir.
- Asal ve maksimal ideal kavramlarını tanımlayıp; bir bölüm halkasının ne zaman bir tamlık bölgesi (R/I, P asal ideal ise) veya cisim (R/I, M maksimal ideal ise) olduğunu belirleyen temel teoremleri ispatlayıp uygulayabileceklerdir.
Ders Öğrenim Çıktısı & Program Çıktısı Matrisi
| DÖÇ-1 | DÖÇ-2 | DÖÇ-3 | DÖÇ-4 | DÖÇ-5 | DÖÇ-6 | DÖÇ-7 |
Haftalık Konular ve İlgili Ön Hazırlık Çalışmaları
| Hafta | Konular | Ön Hazırlık |
|---|---|---|
| 1 | Lecture: Definition of a ring and basic examples (Z, Q, R, C, Z_n, M_n(R)), commutative rings with unity Quick Practice (5 minutes): Examples of rings and non-rings In-Class Discussion (5 minutes): Discussion of the relation between the ring and the group | 1. Grup teorisinin temel kavramlarının (grup, altgrup) hatırlanması. Kaynak: [1], 15-50. 2. Halka tanımının ve temel örneklerin olduğu bölümün okuması. Kaynak: Ders Kitabı, 226-235. |
| 2 | Konu Anlatımı: Birimsel elemanlar, sıfır bölenler, tamlık bölgeleri ve cisimler; her cismin bir tamlık bölgesi olduğu, sonlu tamlık bölgelerinin cisim olduğu Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Cisim ve tamlık bölgesi örneklerinin verilmesi Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Her tamlık bölgesinin bir cisim olamayacağının tartışılması | 1. Halka tanımı ve özelliklerinin hatırlanması. Kaynak: Ders Kitabı, 226-235. 2. Alt halkalar, idealler ve sıfır bölenler ile ilgili bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 236-245. |
| 3 | Konu Anlatımı: Alt halkalar ve idealler Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Alt halka olup ideal olmayan örnek verilmesi Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Alt halka ve ideal ilişkisinin tartışılması | 1. Halka içindeki birim ve sıfır bölen kavramlarının hatırlanması. Kaynak: [3], 170-180. 2. Tamlık bölgeleri ve cisimler ile ilgili bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı 245-252 |
| 4 | Konu Anlatımı: Bölüm halkası (faktör halkası) tanımı ve inşası Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Bölüm halkası inşası örneklerinin verilmesi Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Bölüm halkasının öneminin tartışılması Kısa Sınav 1 (30-40 dk.): Ders sonunda, derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Normal alt grup ve bölüm grubu kavramlarının hatırlanması. Kaynak: [1], 2. Bölüm halkaları konusuna giriş bölümünün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 257-261. |
| 5 | Konu Anlatımı: Halka homomorfizmaları, çekirdek (kernel) ve görüntü kavramları; halka İzomorfizma Teoremleri (1., 2. ve 3. İzomorfizma Teoremleri) Sınıf-içi Uygulama (20 dk.): İzomorf olan ve olmayan halka çiftlerinin araştırılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Verilen iki halkanın izomorf olup olamayacağını üzerine bir tartışma yapılması | 1. Grup homomorfizmaları ve özelliklerinin hatırlanması. Kaynak: [1], 51-59. 2. Halka homomorfizmaları ile ilgili bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 261-267. |
| 6 | Konu Anlatımı: Polinom halkaları (R[x]), polinomlarda derece, toplama ve çarpma Sınıf-içi Uygulama (10 dk.): Polinom halkası ve bunun üzerindeki kavramlarla ilgili küçük örnekler verilmesi Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Polinom halkalarının gereği ve öneminin tartışılması Kısa Sınav 2 (30-40 dk.): Ders sonunda, derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Gruplar için İzomorfizma Teoremlerinin hatırlanması. Kaynak: [2], 100-110. 2. Halka İzomorfizma Teoremlerinin olduğu bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 275-281. |
| 7 | Konu Anlatımı: Polinom halkalarında bölme algoritması, Kalan Teoremi ve Faktör Teoremi Sınıf-içi Uygulama (10 dk.): Bölme algoritması örneğinin verilmesi Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Polinom halkalarındaki işlemler hakkında bir tartışma yapılması | 1. Halka ve alt halka tanımlarının temel özellikleriyle birlikte hatırlanması. Kaynak: [3], 165-175. 2. Polinom halkalarına giriş bölümünün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 288-292 |
| 8 | Ara Sınav 1 | |
| 9 | Konu Anlatımı: Öklid bölgeleri (Euclidean domains- ED), tanım ve özellikleri Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Örnekler (Z, F[x]) verilmesi Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Öklid bölgelerinin öneminin tartışılması | 1. Tam sayılar için bölme algoritmasının hatırlanması. Kaynak: [3], 25-30. 2. Polinom halkalarında bölme algoritması ve ilgili teoremlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 293-300. |
| 10 | Konu Anlatımı: Temel ideal bölgeleri (principal ideal domains- PID); her Öklid bölgesinin bir TİB olduğunun ispatı Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Tersinin doğru olmadığına örnek verilmesi Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Her temel ideal bölgesinin Öklid bölgesi olmayabileceğinin tartışılması | 1. Öklid algoritmasının tam sayılar ve polinomlar için nasıl çalıştığının hatırlanması. Kaynak: [2], 85-92. 2. Öklid bölgeleri ile ilgili bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 318-322. |
| 11 | Konu Anlatımı: İndirgenemez ve asal elemanlar; tek türlü çarpanlarına ayrılabilen bölgeler (unique factorization domains UFD); her TİB'in bir TÇA olduğunun ispatı Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Her indirgenemez elemanın asal olmayabileceğine ters örnek verilmesi Sınıf-içi Tartışma (10 dk.): Tek türlü çarpanlarına ayrılabilen bölgelerle birlikte Aritmetiğin Temel Teoremi’nin genellenmesi üzerine bir tartışma yapılması Kısa Sınav 3 (30-40 dk.): Ders sonunda, derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. İdeal tanımının ve bir eleman tarafından üretilen ideal kavramının hatırlanması. Kaynak: Ders Kitabı, 238-242. 2. Temel ideal bölgeleri ile ilgili bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 305-307. |
| 12 | Konu Anlatımı: İndirgenemez ve asal elemanlar; tek türlü çarpanlarına ayrılabilen bölgeler (unique factorization domains - UFD); her TİB'in bir TÇA olduğunun ispatı. Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Tersinin doğru olmadığına örnek verilmesi. Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Her indirgenemez elemanın asal eleman olmayacağı üzerine bir tartışma yapılması | 1. Aritmetiğin Temel Teoremi'nin (çarpanlara ayırmanın tekliği) hatırlanması. Kaynak: [3], 15-20. 2. Tek türlü çarpanlara ayrılabilen bölgeler (UFD) ile ilgili bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 305-314. |
| 13 | Konu Anlatımı: Asal ve maksimal idealler, tanımları ve aralarındaki ilişki Sınıf-içi Uygulama: (5 dk.): Her asal idealin maksimal olmayabileceğine dair ters örnek verilmesi Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Asal ve maksimal ideallerin ilişkisinin tartışılması Kısa Sınav 4 (30-40 dk.): Ders sonunda, derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Bölüm halkası ve ideal kavramlarının hatırlanması. Kaynak: Ders Kitabı, 257-261. 2. Asal ve maksimal idealler ile ilgili bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 268-274. |
| 14 | Konu Anlatımı: Asal ve maksimal ideallerin bölüm halkalarıyla ilişkisi (R/P tamlık bölgesi, R/M cisimdir); genel tekrar Sınıf-içi Uygulama: (10 dk.): Verilen bir halkanın asal ve maksimal ideallerinin bulunması ile ilgili örnek verilmesi Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Bölüm halkası ile asal-maksimal ideal karakterizasyonunun irdelenmesine dair bir tartışma yapılması | 1. Tamlık bölgesi ve cisim tanımlarının hatırlanması. Kaynak: Ders Kitabı, 245-252. 2. Asal ve maksimal ideallerin bölüm halkalarını nasıl etkilediğine dair teoremlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 268-274. |
| 15 | Konu Anlatımı: Genel tekrar Sınıf-içi Uygulama (30 dk): İşlenen tüm konular ile ilgili çeşitli örneklerin çözülmesi Sınıf-içi Tartışma (10 dk): Dersin genel kazanımlarının değerlendirilmesi ve tartışılması | İşlenen tüm kavramların hatırlanması ve önceki haftalardaki kısımların okumalarının yapılması |
| 16 | Final |
Değerlendirme Sistemi
| Etkinlikler | Sayı | Katkı Payı |
|---|---|---|
| Devam/Katılım | ||
| Laboratuar | ||
| Uygulama | ||
| Arazi Çalışması | ||
| Derse Özgü Staj | ||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 4 | 20 |
| Ödev | ||
| Sunum/Jüri | ||
| Projeler | ||
| Seminer/Workshop | ||
| Ara Sınavlar | 1 | 40 |
| Final | 1 | 40 |
| Dönem İçi Çalışmaların Başarı Notuna Katkısı | ||
| Final Sınavının Başarı Notuna Katkısı | ||
| TOPLAM | 100 | |
AKTS İşyükü Tablosu
| Etkinlikler | Sayı | Süresi (Saat) | Toplam İşyükü |
|---|---|---|---|
| Ders Saati | 14 | 4 | |
| Laboratuar | |||
| Uygulama | |||
| Arazi Çalışması | |||
| Sınıf Dışı Ders Çalışması | 14 | 2 | |
| Derse Özgü Staj | |||
| Ödev | |||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 4 | 8 | |
| Projeler | |||
| Sunum / Seminer | |||
| Ara Sınavlar (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 30 | |
| Final (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 40 | |
| Toplam İşyükü : | |||
| Toplam İşyükü / 30(s) : | |||
| AKTS Kredisi : | |||
| Diğer Notlar | Yok |
|---|
