Anasayfa » Akademik Birimler » Fen-Edebiyat Fakültesi » Matematik Bölümü » Dersler » Topolojiye Giriş
Ders AdıKodu Yerel KrediAKTS Ders (saat/hafta)Uygulama (saat/hafta)Laboratuar (saat/hafta)
Topolojiye GirişMAT317146400
ÖnkoşullarYok
YarıyılGüz
Dersin Diliİngilizce, Türkçe
Dersin SeviyesiLisans
Dersin TürüZorunlu @ Matematik Lisans Programı
Ders KategorisiTemel Meslek Dersleri
Dersin Veriliş ŞekliYüz yüze
Dersi Sunan Akademik BirimMatematik Bölümü
Dersin KoordinatörüEyüp Kızıl
Dersi Veren(ler)Eyüp Kızıl, Okan DUMAN
Asistan(lar)ı
Dersin AmacıBu dersin amacı, öğrencilerin teorik matematik kültürünü geliştirmelerini, analiz ve diferansiyel geometri gibi derslerde karşılaşılan temel kavramların daha genel bir çerçevede anlaşılmasını sağlamaktır. Bu kapsamda, topolojik uzaylar, taban ve alt uzay yapıları, kapalı kümeler ve limit noktaları gibi temel kavramlardan başlanarak; Hausdorff uzayı, sürekli fonksiyonlar, homeomorfizma ve çarpım topolojisi gibi yapılar incelenmektedir. Ayrıca bağlantılılık, bileşenler, yol bağlantılılık, yol bileşenleri, kompaktlık gibi özellikler ele alınarak, bu kavramların analizin temel taşlarıyla ilişkisi ortaya konulmaktadır. Düzenli ve normal uzaylar gibi ayırma aksiyomlarının da tartışıldığı dersin genel hedefi, öğrencilerin soyut düşünme becerisini artırarak matematiğin farklı alanlarında karşılaşılan yapıları topolojik bakış açısıyla kavramalarını mümkün kılmaktır.
Dersin İçeriğiTopolojik uzaylar; taban; alt uzay; kapalı kümeler; limit noktaları; Haussdorf uzayı; sürekli fonksiyonlar; homeomorfizma; çarpım topolojisi; bağlantılı uzaylar; bileşenler; yol bağlantılılık; yol bileşenler; kompaktlık; düzenli ve normal uzaylar.
Ders Kitabı / Malzemesi / Önerilen Kaynaklar
  • James R. Munkres. Topology, 2nd Edition, Prentice-Hall, Inc. 2000, New Jersey
  • Fred H. Croom. Principles of Topology, Dover Publications, 2016
  • Stephen Willard, General Topology, Addison Wesley Longman Publishing, 1971
Opsiyonel Program BileşenleriYok

Ders Öğrenim Çıktıları

  1. Topolojik uzay, taban, alt uzay, kapalı kümeler ve limit noktaları gibi temel kavramları tanımlayarak bu kavramların özelliklerini sınıflandırabileceklerdir.
  2. Hausdorff uzayı ve ayrılma aksiyomlarını tanıyıp, bunların farklı topolojik yapılardaki rolünü açıklayabileceklerdir.
  3. Çarpım topolojisi inşa ederek farklı topolojik uzayların birleşiminden doğan yapıları analiz edebileceklerdir.
  4. Bağlantılı uzay, bileşenler, yol-bağlantılılık ve yol bileşenlerini ayırt ederek bu kavramların örneklerdeki uygulamalarını tartışabileceklerdir.
  5. Kompaktlık kavramını ve bunun analizdeki temel rolünü açıklayarak çeşitli uzaylarda kompaktlık örneklerini inceleyebileceklerdir.
  6. Regüler(düzenli) ve normal uzay kavramlarını tanıyıp, bu uzaylarda ayrılma ve kapalı küme özelliklerini değerlendirebileceklerdir.
  7. Topolojideki soyut kavramların matematiğin diğer alanları (analiz, cebir, geometri) ile olan ilişkilerini kurabileceklerdir.
  8. Soyut düşünme becerilerini geliştirerek topolojik kavramları problem çözümüne uygulayabileceklerdir.
  9. Soyut düşünme becerilerini geliştirerek topolojik kavramları problem çözümüne uygulayabileceklerdir.

Ders Öğrenim Çıktısı & Program Çıktısı Matrisi

DÖÇ-1DÖÇ-2DÖÇ-3DÖÇ-4DÖÇ-5DÖÇ-6DÖÇ-7DÖÇ-8DÖÇ-9

Haftalık Konular ve İlgili Ön Hazırlık Çalışmaları

HaftaKonularÖn Hazırlık
1Topolojik uzaylar Küme ve fonksiyonlar teorisi üzerine genel bilgilerin hatırlanması. Kümelerden oluşan bir koleksiyonun ne zaman topoloji olacağına dair genel bilgilerin verilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 1-15; 21-50,75-78.
2Taban, alt tabanGerçel sayılar üzerindeki aralıkların özelliklerini hatırlanma. Topolojik uzaylar için taban ve alt taban kavramlarına ilişkin konuların içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 50-60, 78-83.
3Alt uzaylar1. Küme işlemleri, kısıtlanmış fonksiyon kavramı ve reel sayılar üzerindeki aralık örneklerinin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 63-65.

2. Bir topolojik uzayın alt uzayı kavramına ilişkin konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 88-90
4Kapalı kümeler, limit noktaları1. Açık kümelerin tanımının, kümelerde kapanış işlemlerinin ve reel sayılar üzerindeki yakınsaklık–limit kavramlarının ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Kitap [1], 39-46.

2. Kapalı küme, limit noktası kavramlarına ilişkin ön bilgilerin konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 92-97.
5Hausdorff uzaylar1. Ayrık noktalar, reel sayılar uzayında uzaklık kavramı ve farklı noktaları ayıran açık kümelerin buradaki örneklerinin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Kitap [1], 49-55.

2. Hausdorff uzayların önemine ilişkin ön bilgilerin konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 98-100.
6Sürekli fonksiyonlar, homeomorfizma1. Fonksiyonların süreklilik tanımının açık halini ve ters fonksiyon kavramını hatırlayarak, reel sayılar üzerindeki örneklerle ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Kitap [1], 75-77.

2. Sürekli fonksiyonlar ve homeomorfizma tanım ve özelliklerini içeren kısımların ön bilgilerini ve konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 102-109.
7Çarpım topolojisi1. Küme çarpımı, açık ve kapalı küme kavramlarını hatırlayarak, basit R^n üzerindeki örnekler üzerinde bu kavramlarla ilgili ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Kitap [1], 99-103.

2. İki ve daha fazla sayıda topolojik uzayın çarpım uzayının kurulmasına ilişkin ilgili bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 86-88; 112-117.
8Ara Sınav 1
9Metrik topoloji1. Reel doğru üzerindeki mutlak değer fonksiyonunun bir metrik olduğunu ve burada uzaklık kavramını gözden geçirerek, açık ve kapalı kümeler ile yakınsaklık örnekleriyle ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Kitap [1], 29-53.

2. Metrik kavramına ilişkin ilgili bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 119-125;129-132.
10Bağlantılı uzaylar1. Küme ve fonksiyon bilgilerini tazeleyerek, R (veya R^n) üzerindeki aralıkların bağlantılılık özelliklerini ve birleştirilebilir kümelerle ilgili kısımların ön bilgilerinin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Kitap [1], 143-144.

2. Bir uzayın ayrımına ve akabinde bağlantılılık kavramına ilişkin ilgili bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 147-155.
11Bileşenler ve yol-bağlantılılık1. Bağlantılılık kavramını gözden geçirerek, R ve R^2 üzerindeki örneklerle bileşen ve yol bağlantılılık ilişkilerinin ön bilgilerinin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 119-155.

2. Denklik bağıntısı üzerinde bileşen kavramına ilişkin ön bilgi verilmesi ve uzayın hangi şartlar altında bağlantılı olduğu kavramına ilişkin ilgili bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 155-162.
12Ara sınav 2
13Kompakt uzaylar1. Limit noktaları ve yakınsak diziler kavramlarını tekrar ederek kompatlığın dizisel anlamda, reel doğruda ne olduğunun hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Kitap [1], 161-166.

2. Kompakt uzayların çarpımları, kapalı alt kümeleri, sürekli fonksiyon altında korunuyor olmaları gibi kavramlara ilişkin ilgili bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 166-170; 172-174.
14Düzenli ve normal uzaylar1. Kapalı kümeler ve ayırma aksiyomlarını hatırlayarak, Öklid ve basit topolojik uzay örneklerinde noktalar ile kapalı kümelerin ayrılmasını gözden geçirmesi. Kaynak: Kitap [1], 231-234.

2. Ayırma aksiyomlarından olan Hausdorfluk bahsinin hatırlanması ve düzenli uzay ile arasındaki kavramlara ilişkin ilgili bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 195-199.

3. Bir ayırma aksiyomu olarak normal uzay kavramının verilmesi ve düzenli uzay ile mukayesesinin yapılarak ilgili bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 200-203.
15Finalİşlenen konuların tümünün tekrar edilmesi
16Final

Değerlendirme Sistemi

EtkinliklerSayıKatkı Payı
Devam/Katılım140
Laboratuar
Uygulama
Arazi Çalışması
Derse Özgü Staj
Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği00
Ödev
Sunum/Jüri
Projeler
Seminer/Workshop
Ara Sınavlar260
Final140
Dönem İçi Çalışmaların Başarı Notuna Katkısı
Final Sınavının Başarı Notuna Katkısı
TOPLAM100

AKTS İşyükü Tablosu

EtkinliklerSayıSüresi (Saat)Toplam İşyükü
Ders Saati144
Laboratuar
Uygulama
Arazi Çalışması
Sınıf Dışı Ders Çalışması144
Derse Özgü Staj
Ödev
Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği
Projeler
Sunum / Seminer
Ara Sınavlar (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi)220
Final (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi)115
Toplam İşyükü :
Toplam İşyükü / 30(s) :
AKTS Kredisi :
Diğer NotlarYok