| Ders Adı | Kodu | Yerel Kredi | AKTS | Ders (saat/hafta) | Uygulama (saat/hafta) | Laboratuar (saat/hafta) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Lineer Operatörlere Giriş | MAT4510 | 3 | 5 | 3 | 0 | 0 |
| Önkoşullar | Yok |
|---|
| Yarıyıl | Güz, Bahar |
|---|
| Dersin Dili | İngilizce, Türkçe |
|---|---|
| Dersin Seviyesi | Lisans |
| Dersin Türü | Seçmeli @ Matematik Lisans Programı Seçmeli @ Fizik Lisans Programı (%30 İngilizce) |
| Ders Kategorisi | Uzmanlık/Alan Dersleri |
| Dersin Veriliş Şekli | Yüz yüze |
| Dersi Sunan Akademik Birim | Matematik Bölümü |
|---|---|
| Dersin Koordinatörü | Erdal Gül |
| Dersi Veren(ler) | Erdal Gül |
| Asistan(lar)ı |
| Dersin Amacı | Bu dersin amacı, öğrencilerin sürekli lineer dönüşümler, sınırlı lineer operatörün normu, operatörler uzayı, ters operatör, dual uzay ve Hilbert uzayında lineer operatörler gibi fonksiyonel analiz kavramlarını derinlemesine anlamalarına ve uygulamalarına yardımcı olmaktır. Özellikle, öğrenciler Hilbert uzayındaki operatörlerin tersinirliğinin daha basit bir karakterizasyonu olan "adjoint" kavramını tanıyacak ve nasıl elde edileceğini öğrenecektir. Yine öğrenciler, üç önemli operatör türünü (normal, kendine eşlenik ve üniter operatörler) tanıyacak ve adjointin bu operatörlerin özelliklerini vermek için nasıl kullanıldıklarını göreceklerdir. Ayrıca bir matrisin özdeğer kümesinin sonlu boyutlu uygulamalardaki kullanımlarında olduğu gibi sonsuz boyutlu uzaylardaki operatörler için de benzer kullanımların olduğunu öğreneceklerdir. |
|---|---|
| Dersin İçeriği | Lineer vektör uzayları; sürekli lineer dönüşümler, sınırlı lineer operatörün normu; sınırlı operatörlerin uzayı, operatörlerin tersleri, dual uzaylar; Hilbert uzaylarda lineer operatörler, operatörün adjointi, normal, kendine eşlenik ve üniter operatörler, bir operatörün spektrumu; pozitif operatörler, izdüşümler. |
| Ders Kitabı / Malzemesi / Önerilen Kaynaklar |
|
| Opsiyonel Program Bileşenleri | Yok |
Ders Öğrenim Çıktıları
- Öğrenciler analitik düşünme yeteneği kazanabileceklerdir.
- Öğrenciler lineer operatör kavramını öğrenebileceklerdir.
- Öğrenciler ters operatörleri ve özelliklerini öğrenebileceklerdir.
- Öğrenciler dual uzaylar hakkında bilgi sahibi olabileceklerdir.
- Öğrenciler bir operatörün adjointinin nasıl bulunduğunu öğrenebileceklerdir.
- Öğrenciler tersinirliğin karakterizasyonunun elde edilmesi açısından önemli bir sonuç öğrenebileceklerdir.
- Öğrenciler Hilbert uzaylarında operatörlerin özel bir sınıflandırılmasını öğrenebileceklerdir.
- Öğrenciler bir operatörün spektrumu hakkında bilgi sahibi olabileceklerdir.
- Öğrenciler pozitif operatörler hakkında bilgi sahibi olabileceklerdir.
Ders Öğrenim Çıktısı & Program Çıktısı Matrisi
| DÖÇ-1 | DÖÇ-2 | DÖÇ-3 | DÖÇ-4 | DÖÇ-5 | DÖÇ-6 | DÖÇ-7 | DÖÇ-8 | DÖÇ-9 |
Haftalık Konular ve İlgili Ön Hazırlık Çalışmaları
| Hafta | Konular | Ön Hazırlık |
|---|---|---|
| 1 | Konu Anlatımı: Lineer vektör uzayları: Vektör uzayı ve alt vektör uzayı, lineer dönüşümler ve özellikleri Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Vektör uzayı ve alt vektör uzayı kavramları ve fonksiyonlarda 1-1 ve örten tanımlarına ilişkin basit örneklemelerin yaptırılması. Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Lineer dönüşüm kavramının Matematik içinde ve diğer disiplinlerde kullanım alanıyla ilgili tartışmanın yapılması. | 1. Küme, bağıntı ve fonksiyon kavramlarının hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak:[1], 2-9, [2], 9-22. 2. Vektör uzayı ve alt-vektör uzayı, lineer dönüşümler ve özelliklerini içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 2-9. |
| 2 | Konu Anlatımı: Lineer operatörler: Sürekli lineer operatörler, sınırlı lineer operatör Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Sürekli ve sınırlı lineer operatörlerin eşdeğerliğine dair örneklemelerin yaptırılması. Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Sınırlı lineer operatörün sonlu ve sonsuz boyutlarda karşılaştırılmasına ilişkin tartışmanın yapılması. | 1. Normlu uzaylar ve örneklerinin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak:Ders Kitabı, 31-39. 2. Sürekli lineer operatörler, sınırlı lineer operatör kavramlarını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 87-95. |
| 3 | Konu Anlatımı: Sınırlı bir lineer operatörün normu Sınıf-içi Uygulama (5 dk): Farklı uzaylar üzerinde normların oluşturulması uygulamasının yaptırılması. Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Normu 1 olan her lineer operatörün bir izometri olup olmayacağının tartışılması. Kısa Sınav 1 (15 dk.): Ders sonunda, derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması. | 1. Normlu uzaylarda dizilerin ve Hilbert uzaylarının hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak:Ders Kitabı, 31 39, 61-54; [1], 49-52, 127-136. 2. Sınırlı bir lineer operatörün normunu içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 97-103. 3. Kısa Sınav 1: Ders Kitabı, 2-103. |
| 4 | Konu Anlatımı: Sınırlı operatörler uzayı Sınıf-içi Uygulama (5 dk): Sınırlı operatörün normunun uygulamasının yaptırılması. Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Operatör çarpımlarının tartışılması. | 1. Metrik uzay ve Banach uzayı tanımlarının hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak:Ders Kitabı, 31-39, 61-54. 2. Sınırlı operatörler uzayını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 104-108. |
| 5 | Konu Anlatımı: Operatörlerin tersleri Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Tersinirliğin farklı karakterizasyonlarının kullanılmasının yaptırılması. Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Tersinir olmayan operatör örneğinin tartışılması. | 1. Vektör uzayları arasında tanımlı fonksiyonlarda 1-1 ve örten tanımlarına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 2-9. 2. Operatörlerin tersleri, izomorfizma, açık tasvir teoremi, kapalı grafik teoremi konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 108-119. |
| 6 | Konu Anlatımı: Dual uzaylar Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Dual uzayın elde edilmesinin uygulamasının yaptırılması. Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Ayrılabilir uzay yapısının tartışılması. Kısa Sınav 2 (15 dk.): Ders sonunda, son üç hafta derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması. | 1. Sonlu boyutlu normlu lineer uzaylar, lineer dönüşümün çekirdeği ve ortogonal tümleyen kavramlarının hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak:Ders Kitabı, 2-9, 32, 65. 2. Dual uzayları içeren bölümlerin okunması. Kaynak:Ders Kitabı, 121-126. 3. Kısa Sınav 2: Ders Kitabı, 104-126. |
| 7 | Konu Anlatımı: Hahn Banach Teoremi Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Bir fonksiyonun genişlemesinin bulunmasının yaptırılması. Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Hangi koşullar altında genişleme mevcut olurun tartışılması. | 1. Altlineer fonksiyonel ve yarı-norm kavramlarının hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 127-129. 2. Normlu uzaylar için Hahn Banach Teoremi ve teoremin sonuçlarını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 127-138. |
| 8 | Ara Sınav 1 | |
| 9 | Konu Anlatımı: Operatörün adjointi Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Bir operatörün adjointinin bulunmasının yaptırılması. Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Bir operatörün çekirdeğinin adjoint operatörü ile ilişkisinin tartışılması. | 1. İç çarpım ve Cauchy-Schwarz eşitsizliği kavramlarının hatırlanması ve etkinleştiril- mesi. Kaynak: Ders Kitabı, 51-58. 2. Operatörün adjointini içeren bölümlerin okunması. Kaynak:Ders Kitabı, 167-175. |
| 10 | Konu Anlatımı: Normal, kendine eşlenik operatörler Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Normal matris testinin yaptırılması. Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Kendine eşlenik operatörün Hilbert uzayları dışında tanımlanabilirliğinin tartışılması. | 1. Kompleks Hilbert uzayları üzerinde sınırlı lineer operatörlerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 96, 104, 127. 2. Normal ve kendine eşlenik operatörleri içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 176-180. |
| 11 | Konu Anlatımı: Üniter operatörler Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Bir matrisin üniter olmasına ilişkin uygulamanın yaptırılması. Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Bir üniter operatör ya da matris için adjointin ne anlama geldiğine ilişkin tartışmanın yapılması. Kısa Sınav 3 (15 dk.): Ders sonunda, derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması. | 1. Kendine eşlenik operatör ve izometri kavramlarının hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 179-100. 2. Üniter operatörleri içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 180-183. 3. Kısa Sınav 3: Ders Kitabı, 183. |
| 12 | Konu Anlatımı: Bir operatörün spektrumu Sınıf-içi Uygulama (5 dk.): Matrislerin normlarının bulunması üzerine uygulama yaptırılması. Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Tek noktadan oluşan kendine eş operatörün formuna ilişkin tartışmasının yapılması. | 1. Özdeğer ve tersinirlik kavramlarının hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 8, 109. 2. Bir operatörün spektrumunun tanımlanması ve bulunmasını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 183-191. |
| 13 | Konu Anlatımı: Pozitif operatörler Sınıf-içi Uygulama: (5 dk) Hilbert uzayı üzerinde tanımlanan sınırlı, tersinir ve pozitif operatörden bir pozitif operatörün elde edilmesi. Sınıf-içi Tartışma: (5 dk.) Ortoganal operatörlerin çarpımının ortogonal olup olmayacağı tartışmasının yapılması. | 1. Kendine eşlenik operatör ve spektrum kavramlarının hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı,179, 184. 2. Pozitif operatörleri içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı,192-197. |
| 14 | Konu Anlatımı: Pozitif operatörler ve izdüşümler Sınıf-içi Uygulama: (5 dk) Ortogonal izdüşümlerinin eşdeğer özelliklerinin belirlenmesinin yaptırılması. Sınıf-içi Tartışma: (5 dk.) Bir matrisin pozitif karekökü hakkındaki tartışmanın yapılması. Kısa Sınav 4 (15 dk.) Ders sonunda, derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması. | 1. Pozitif operatörlerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 192. 2. Pozitif operatörleri ve izdüşümleri içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 195-203. 3. Kısa Sınav 4: Ders Kitabı, 203-204. |
| 15 | Konu Anlatımı: Genel tekrar ve bir uygulama Sınıf-içi Uygulama (15 dk.): Kutupsal ayrışımla ilgili bir uygulamanın yaptırılması. Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Kutupsal ayrışımın bilinmesinin öneminin tartışılması. | 1. Geçmiş konuların hatırlanması ve etkinleştirilmesi. 2. Bir B matrisinin kutupsal ayrışımını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 203-204. |
| 16 | Final |
Değerlendirme Sistemi
| Etkinlikler | Sayı | Katkı Payı |
|---|---|---|
| Devam/Katılım | ||
| Laboratuar | ||
| Uygulama | ||
| Arazi Çalışması | ||
| Derse Özgü Staj | ||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 4 | 20 |
| Ödev | ||
| Sunum/Jüri | ||
| Projeler | ||
| Seminer/Workshop | ||
| Ara Sınavlar | 1 | 40 |
| Final | 1 | 40 |
| Dönem İçi Çalışmaların Başarı Notuna Katkısı | ||
| Final Sınavının Başarı Notuna Katkısı | ||
| TOPLAM | 100 | |
AKTS İşyükü Tablosu
| Etkinlikler | Sayı | Süresi (Saat) | Toplam İşyükü |
|---|---|---|---|
| Ders Saati | 14 | 3 | |
| Laboratuar | |||
| Uygulama | |||
| Arazi Çalışması | |||
| Sınıf Dışı Ders Çalışması | 14 | 4 | |
| Derse Özgü Staj | |||
| Ödev | |||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 4 | 3 | |
| Projeler | |||
| Sunum / Seminer | |||
| Ara Sınavlar (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 10 | |
| Final (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 15 | |
| Toplam İşyükü : | |||
| Toplam İşyükü / 30(s) : | |||
| AKTS Kredisi : | |||
| Diğer Notlar | Yok |
|---|
