| Ders Adı | Kodu | Yerel Kredi | AKTS | Ders (saat/hafta) | Uygulama (saat/hafta) | Laboratuar (saat/hafta) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Cebir 1 | MAT2091 | 4 | 6 | 4 | 0 | 0 |
| Önkoşullar | Yok |
|---|
| Yarıyıl | Güz |
|---|
| Dersin Dili | İngilizce, Türkçe |
|---|---|
| Dersin Seviyesi | Lisans |
| Dersin Türü | Zorunlu @ Matematik Lisans Programı |
| Ders Kategorisi | Temel Meslek Dersleri |
| Dersin Veriliş Şekli | Yüz yüze |
| Dersi Sunan Akademik Birim | Matematik Bölümü |
|---|---|
| Dersin Koordinatörü | Murat Alan |
| Dersi Veren(ler) | A. Göksel Ağargün, Gürsel Yeşilot, Murat Alan, Bayram Ali Ersoy, Emre Kolotoğlu |
| Asistan(lar)ı |
| Dersin Amacı | Bu dersin amacı, öğrencilere modern cebirin temel yapı taşı olan grup teorisini tanıtmaktır. Ders, soyutlamanın temelini oluşturan grup aksiyomlarından başlayarak, öğrencilere bir cebirsel yapının nasıl analiz edileceğini öğretmeyi hedefler. Altgruplar, devirli gruplar ve permütasyon grupları gibi temel grup sınıfları incelenecektir. Lagrange Teoremi ile sonlu grup yapıları hakkında temel sonuçlar elde etme, bölüm grupları ve homomorfizmalar aracılığıyla gruplar arası ilişkileri anlama becerisi kazandırılacaktır. Ayrıca, öğrencilere grup etkileri ve Sylow Teoremleri gibi ileri düzey araçlarla, sonlu grupların iç yapısını ve sınıflandırmasını anlama yeteneği kazandırmayı amaçlamaktadır. |
|---|---|
| Dersin İçeriği | Grup tanımı, temel örnekler ve özellikler; altgruplar ve altgrup testleri; devirli gruplar ve üreteçleri; permütasyon grupları (simetrik ve alterne gruplar); kosetler ve Lagrange Teoremi; normal altgruplar ve bölüm (faktör) grupları; grup homomorfizmaları ve İzomorfizma Teoremleri; Dihedral grup ve Kuaternion grup gibi önemli sonlu gruplar; grupların dış direkt çarpımı; grup etkileri, Burnside Teoremi; Sylow Teoremleri ve sonlu grupların yapısı üzerine uygulamaları. |
| Ders Kitabı / Malzemesi / Önerilen Kaynaklar |
|
| Opsiyonel Program Bileşenleri | Yok |
Ders Öğrenim Çıktıları
- Grup aksiyomlarını tanımlayarak; verilen bir ikili işlemli kümenin grup olup olmadığını doğrulayabileceklerdir.
- Altgrup testlerini kullanarak bir alt kümenin altgrup olup olmadığını belirleyerek, devirli grupların yapısını analiz edip, eleman mertebelerini hesaplayabileceklerdir.
- Permütasyonları döngüsel notasyonda yazıp, mertebelerini bularak, simetrik (S_n) ve alterne (A_n) grupların temel özelliklerini açıklayabileceklerdir.
- Lagrange Teoremi'ni ifade ve ispat ederek, bu teoremi sonlu bir grubun olası altgrup mertebelerini belirlemek için kullanabileceklerdir.
- Normal altgrup kavramını tanımlayıp, bölüm grubunu inşa ederek, homomorfizmalar ile Birinci İzomorfizma Teoremi'ni kullanıp gruplar arasındaki temel ilişkileri kurabileceklerdir.
- Dihedral grup (D_n) ve Kuaternion grup (Q_8) gibi temel sonlu grup örneklerini tanımlayıp analiz edebileceklerdir.
- Grup etkisi, yörünge (orbit) ve dengeleyici (stabilizer) kavramlarını tanımlayarak, Burnside Teoremi'ni sayma problemlerine uygulayabileceklerdir.
- Sylow Teoremlerini ifade edip, bu teoremleri kullanarak verilen mertebedeki sonlu bir grubun yapısı hakkında (örneğin basit olup olmadığı) çıkarımlar yapabileceklerdir.
Ders Öğrenim Çıktısı & Program Çıktısı Matrisi
| DÖÇ-1 | DÖÇ-2 | DÖÇ-3 | DÖÇ-4 | DÖÇ-5 | DÖÇ-6 | DÖÇ-7 | DÖÇ-8 |
Haftalık Konular ve İlgili Ön Hazırlık Çalışmaları
| Hafta | Konular | Ön Hazırlık |
|---|---|---|
| 1 | Konu Anlatımı: Grup tanımı, temel örnekler (tamsayılar, rasyonel sayılar, Z_n, simetri grupları) Sınıf-içi Uygulama (10 dk): Grup aksiyomlarını sağlayan ve sağlamayan örneklerin çözülmesi Sınıf-içi Tartışma (10 dk): Grup kavramının matematik ve diğer disiplinlerdeki yerinin tartışılması | 1. Grup tanımı ve temel özelliklerinin hatırlanması. Kaynak: Ders Kitabı, 34-45. 2. Altgruplar ile ilgili bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 56-65. . |
| 2 | Konu Anlatımı: Altgruplar, altgrup testleri Sınıf-içi Uygulama (10 dk): Verilen bir grubun altgruplarının bulunması Sınıf-içi Tartışma (10 dk): Tamsayıların bazı alt kümelerini alarak, toplamaya göre sağladığı özelliklerin tartışılması | 1. Altgrup ve bir eleman tarafından üretilen altgrup kavramlarının hatırlanması. Kaynak: [1], 25-30. 2. Devirli gruplar bölümünün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 70-82. |
| 3 | Konu Anlatımı: Devirli (cyclic) gruplar, eleman mertebesi Sınıf-içi Uygulama (15 dk): Z_n ve U(n) gruplarının üreteçlerinin ve elemanlarının mertebelerinin bulunması Sınıf-içi Tartışma (10 dk): Devirli olmayan bir sonlu grup ve sonsuz grup örneğinin tartışılması | 1. Altgrup ve bir eleman tarafından üretilen altgrup kavramlarının hatırlanması. Kaynak: [1], 25-30. 2. Devirli gruplar bölümünün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 70-82. |
| 4 | Konu Anlatımı: Permütasyon grupları (S_n), döngüsel notasyon, çift ve tek permütasyonlar, alterne grup (A_n) Sınıf-içi Uygulama (15 dk): Permütasyonların ayrık döngülere ayrılması ve mertebelerinin hesaplanması Sınıf-içi Tartışma (10 dk): Farklı permütasyon örneklerinden yola çıkılarak bazı permütasyonların daha kolay gösterimi elde edilebilir mi incelenmesi ve geometrideki dönme, öteleme ve yansıma kavramlarının bir permütasyon olup olmadığının tartışılması Kısa Sınav 1 (30-40 dk.): Ders sonunda, derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Birebir ve örten fonksiyon (permütasyon) tanımının hatırlanması. Kaynak: [3], 10-14. 2. Permütasyon grupları ile ilgili bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 88-103. |
| 5 | Konu Anlatımı: Kosetler ve Lagrange Teoremi Sınıf-içi Uygulama (5 dk): Bir altgrubun sol ve sağ kosetlerinin bulunması Sınıf-içi Tartışma (10 dk): Tamsayıların alt grupları üzerinden örnek verilerek sağ ve sol denklik sınıfları ve özelliklerinin tartışılması | 1. Denklik bağıntısı ve denklik sınıfları kavramlarının hatırlanması. Kaynak: [3], 15-20. 2. Lagrange Teoremi ve kosetler bölümünün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 126-133. |
| 6 | Konu Anlatımı: Normal altgruplar ve bölüm (faktör) grupları Sınıf-içi Uygulama (15 dk): Bölüm grubu inşa etme örneği (ör: Z/nZ, D_4/Z(D_4)) verilmesi Sınıf-içi Tartışma (10 dk): Tamsayılar grubu dışında başka grupların alt gruplarının normal olup olmadığının tartışılması Kısa Sınav 2 (30-40 dk.): Ders sonunda, derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Kosetler ve Lagrange Teoremi'nin sonuçlarının hatırlanması. Kaynak: Ders Kitabı, 126-133. 2. Normal altgruplar ve bölüm grupları bölümünün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 160-170. |
| 7 | Konu Anlatımı: Grup homomorfizmaları, çekirdek ve görüntü, Birinci İzomorfizma Teoremi Sınıf-içi Uygulama (15 dk): Homomorfizma ve çekirdek bulma ile ilgili örneklerin verilmesi Sınıf-içi Tartışma (10 dk): Tamsayılar grubunun dışındaki grupların alt gruplarına bakılarak bölüm grupları elde edilmesinin tartışılması | 1. Fonksiyonların temel özellikleri ve bölüm grubu tanımının hatırlanması. Kaynak: [1], 51-59. 2. Grup homomorfizmaları bölümünün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 178-189. |
| 8 | Ara Sınav 1 | |
| 9 | Konu Anlatımı: Dihedral grup (D_n) ve Kuaternion grup (Q_8) gibi önemli örneklerin incelenmesi Sınıf-içi Uygulama (10 dk): D_4 grubunun altgrup kafesinin oluşturulması Sınıf-içi Tartışma (10 dk): D4 ve Q8 in geometrisinin tartışılması | 1. Simetri grupları ve permütasyon gruplarının hatırlanması. Kaynak: Ders Kitabı, 88-95. 2. Dihedral gruplar ile ilgili bölümün okunması. Kaynak: [2], 23-28. |
| 10 | Konu Anlatımı: Gruplarda iç ve dış direkt çarpım (internal/external direct product) Sınıf-içi Uygulama (5 dk): Direkt çarpım grubunda eleman mertebesinin hesaplanması Sınıf-içi Tartışma (10 dk): Grupları kullanarak yeni gruplar elde edebilir miyiz? sorusu üzerine bir tartışma yapılması | 1. Kartezyen çarpım kümesi kavramının hatırlanması. Kaynak: [3], 4-5. 2. Dış direkt çarpım ile ilgili bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 142-152. |
| 11 | Konu Anlatımı: Grup etkileri (group actions), orbit ve stabilizer Sınıf-içi Uygulama (5 dk): Bir grubun bir kümeye etkisine örnekler verilmesi Sınıf-içi Uygulama (10 dk): Abelyen olmayan gruplar en az kaç elemanlıdır? sorusu üzerine bir tartışma yapılması Kısa Sınav 3 (30-40 dk.): Ders sonunda, derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Grup homomorfizmaları ve permütasyon gruplarının hatırlanması. Kaynak: Ders Kitabı, 178-189. 2. Grup etkileri konusuna giriş bölümünün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 400-405. |
| 12 | Konu Anlatımı: Orbit-Stabilizer Teoremi ve Burnside Teoremi Sınıf-içi Uygulama (15 dk): Burnside Teoremi ile bir sayma problemi çözülmesi Sınıf-içi Tartışma (10 dk): n. mertebeden abelyen olmayan bir grubun n nin her pozitif bölenine karşılık gelen bir alt grup var mıdır? Sorusu üzerine bir tartışma yapılması | 1. Grup etkisi, yörünge ve dengeleyici kavramlarının hatırlanması. Kaynak: Ders Kitabı, 400-405. 2. Burnside Teoremi ve uygulamaları bölümünün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 406-410. |
| 13 | Konu Anlatımı: Sylow Teoremleri (1. Teorem ve 2. Teorem) Sınıf-içi Uygulama (15 dk): Belirli mertebeden bir grubun Sylow p-altgruplarının sayısının bulunması Sınıf-içi Tartışma (10 dk): Bir asal tamsayının karesi mertebeden gruplar abelyen midir? Sorusu üzerine bir tartışma yapılması Kısa Sınav 4 (30-40 dk.): Ders sonunda, derste işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Lagrange Teoremi ve sonuçlarının hatırlanması. Kaynak: Ders Kitabı, 126 133. 2. Sylow Teoremleri bölümünün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 374-385. |
| 14 | Konu Anlatımı: Sylow Teoremleri'nin uygulamaları (grupların basit olup olmadığını belirleme) Sınıf-içi Uygulama (30 dk): Mertebesi 15, 30 gibi grupların yapısının Sylow Teoremleri ile incelenmesi Sınıf-içi Tartışma (10 dk): 15 elemanlı bir grup basit midir? Sorusu üzerine bir tartışma yapılması | 1. Sylow Teoremlerinin ifadelerinin hatırlanması. Kaynak: Ders Kitabı, 374 385. 2. Sylow Teoremleri'nin uygulamaları ile ilgili örneklerin incelenerek okunması. Kaynak: [2], 145-150. |
| 15 | Konu Anlatımı: Genel tekrar Sınıf-içi Uygulama (30 dk): İşlenen tüm konular ile ilgili çeşitli örneklerin çözülmesi Sınıf-içi Tartışma (10 dk): Dersin genel kazanımlarının değerlendirilmesi ve tartışılması | İşlenen tüm kavramların hatırlanması ve önceki haftalardaki kısımların okumalarının yapılması |
| 16 | Final |
Değerlendirme Sistemi
| Etkinlikler | Sayı | Katkı Payı |
|---|---|---|
| Devam/Katılım | ||
| Laboratuar | ||
| Uygulama | ||
| Arazi Çalışması | ||
| Derse Özgü Staj | ||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 4 | 20 |
| Ödev | ||
| Sunum/Jüri | ||
| Projeler | ||
| Seminer/Workshop | ||
| Ara Sınavlar | 1 | 40 |
| Final | 1 | 40 |
| Dönem İçi Çalışmaların Başarı Notuna Katkısı | ||
| Final Sınavının Başarı Notuna Katkısı | ||
| TOPLAM | 100 | |
AKTS İşyükü Tablosu
| Etkinlikler | Sayı | Süresi (Saat) | Toplam İşyükü |
|---|---|---|---|
| Ders Saati | 14 | 4 | |
| Laboratuar | |||
| Uygulama | |||
| Arazi Çalışması | |||
| Sınıf Dışı Ders Çalışması | 14 | 2 | |
| Derse Özgü Staj | |||
| Ödev | |||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 4 | 8 | |
| Projeler | |||
| Sunum / Seminer | |||
| Ara Sınavlar (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 30 | |
| Final (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 40 | |
| Toplam İşyükü : | |||
| Toplam İşyükü / 30(s) : | |||
| AKTS Kredisi : | |||
| Diğer Notlar | Yok |
|---|
