| Ders Adı | Kodu | Yerel Kredi | AKTS | Ders (saat/hafta) | Uygulama (saat/hafta) | Laboratuar (saat/hafta) |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Diferansiyel Geometri 1 | MAT3151 | 3 | 5 | 3 | 0 | 0 |
| Önkoşullar | Yok |
|---|
| Yarıyıl | Güz |
|---|
| Dersin Dili | İngilizce, Türkçe |
|---|---|
| Dersin Seviyesi | Lisans |
| Dersin Türü | Zorunlu @ Matematik Lisans Programı Seçmeli @ Fizik Lisans Programı (%30 İngilizce) |
| Ders Kategorisi | Temel Meslek Dersleri |
| Dersin Veriliş Şekli | Yüz yüze |
| Dersi Sunan Akademik Birim | Matematik Bölümü |
|---|---|
| Dersin Koordinatörü | Gülsüm Yeliz SAÇLI |
| Dersi Veren(ler) | Salim Yüce, Mustafa Düldül, Gülsüm Yeliz SAÇLI, Nurten Gürses |
| Asistan(lar)ı |
| Dersin Amacı | Bu dersin amacı, öğrencilerin E^n Öklid uzayında Öklid çatısı, koordinat sistemi, diferansiyellenebilir fonksiyonlar, diffeomorfizmler, teğet vektör, teğet uzay, yöne göre türev, vektör alanı, bir vektör alanı yönünde türev, bir eğri yönünde yöne göre türev, kovaryant türev, paralel vektör alanı, jeodezik eğri, integral eğri, Lie operatörü, kotanjant uzay, 1-form, diferansiyel operatör, gradient, divergens, rotasyonel fonksiyon ve türev dönüşümü gibi diferansiyel geometri kavramlarını kavramalarına ve bu kavramları geometrik bir bakış açısı ile değerlendirmelerine yardımcı olmaktır. Ayrıca, hız vektörleri, yay uzunluğu ve parametre değişimi gibi eğrilerin temel özellikleri açıklanarak, üç boyutlu Öklid uzayındaki (E³) eğrilerin yapısı Frenet vektörleri, Frenet formülleri, Frenet düzlemleri, eğrilikler, eğrilerin küresel gösterge eğrileri ve özel eğri çiftleri aracılığıyla ayrıntılandırılmaktadır. Ders, öğrencilere diferansiyel geometriye özgü soyut kavramları görselleştirme, geometrik analiz becerileri geliştirme ve teorik bilgilerini bilgisayar destekli uygulamalar yoluyla pekiştirme yetkinliği kazandırmaktadır. |
|---|---|
| Dersin İçeriği | Öklid uzayı, Öklid çatısı, Öklid koordinat sistemi; diferansiyellenebilir fonksiyonlar, diffeomorfizm; tanjant vektör, tanjant uzay, yöne göre türev; vektör alanı, vektör alanı yönünde türev; eğri yönünde yöne göre türev; kovaryant türev; paralel vektör alanı; jeodezik eğri; integral eğrisi; kotanjant uzay, 1-formlar; diferansiyel operatör, gradient, divergens, rotasyonel fonksiyonları; türev dönüşümü; eğriler teorisi, birim hızlı eğri, birim hızlı olmayan eğri, regüler eğri, hız vektörü, yay uzunluğu, parametre değişimi; Lie operatörü; Frenet çatısı, Frenet formülleri, Frenet düzlemleri; helisler, involüt-evolüt eğri çifti, Bertrand eğri çifti, bir eğrinin küresel göstergeleri; diferansiyel formlar. |
| Ders Kitabı / Malzemesi / Önerilen Kaynaklar |
|
| Opsiyonel Program Bileşenleri | Yok |
Ders Öğrenim Çıktıları
- Öğrenciler E^n Öklid uzayında Öklid çatısı, Öklid koordinat sistemi, Öklid metriği, diferansiyellenebilir fonksiyonlar ve diffeomorfizm kavramlarını açıklayabileceklerdir.
- Öğrenciler tanjant vektör, tanjant uzayı, vektör alanı kavramlarını tanımlayarak yöne göre türev, vektör alanı ve eğri yönünde türev hesaplamaları yapabileceklerdir.
- Öğrenciler kovaryant türev, Lie operatörü, kotanjant uzay, 1-form, diferansiyel operatör, paralel vektör alanı, integral eğrisi ve jeodezik eğri kavramlarını açıklayabileceklerdir.
- Öğrenciler gradient, divergens, rotasyonel fonksiyonlar ve türev dönüşümünün matrisi ile ilgili uygulamaları yapabileceklerdir.
- Öğrenciler E^n uzayında eğri kavramını ve temel özelliklerini açıklayabileceklerdir.
- Öğrenciler 6. E^3 Öklid uzayında Frenet çatısını ve Frenet formüllerini, eğrilikleri, eğri boyunca özel düzlemleri, özel eğrileri ve eğriliklerin geometrik yorumunu ifade edebileceklerdir.
- Öğrenciler eğriler teorisinde edindiği teorik bilgileri örnek problemlerin çözümünde uygulayabileceklerdir.
Ders Öğrenim Çıktısı & Program Çıktısı Matrisi
| DÖÇ-1 | DÖÇ-2 | DÖÇ-3 | DÖÇ-4 | DÖÇ-5 | DÖÇ-6 | DÖÇ-7 |
Haftalık Konular ve İlgili Ön Hazırlık Çalışmaları
| Hafta | Konular | Ön Hazırlık |
|---|---|---|
| 1 | Konu Anlatımı: E^n Öklid uzayı: Öklid çatısı, Öklid koordinat sistemi, Öklid metriği; Öklid uzayında diferansiyellenebilir fonksiyonlar, diffeomorfizm Sınıf-içi Uygulama (30 dk.): Verilen bir nokta sisteminin E^3 uzayında bir Öklid çatısı olduğunun gösterilmesi, verilen bir fonksiyonun diffeomorfizm olup olmadığının araştırılması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Bir fonksiyonun diferansiyellenebilir olmasının uygulamalardaki öneminin irdelenmesi, | 1. Afin uzayı, reel iç çarpım uzayı ile türev kavramlarına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynaklar: Ders Kitabı, 2-5. [5], 46-48. [3], 106-108; 115-122. [4],764-772. 2. E^n Öklid uzayı: Öklid çatısı, Öklid koordinat sistemi, Öklid metriği, Öklid uzayında diferansiyellenebilir fonksiyonlar, diffeomorfizm konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 6-10; 14-21. |
| 2 | Konu Anlatımı: Tanjant vektörler ve tanjant uzayı, yöne göre türev ve yöne göre türevin geometrik yorumu Sınıf-içi Uygulama (30 dk.): Tanjant vektör örnekleri ve yöne göre türev değerinin hem tanım hem de farklı yollar kullanılarak hesaplanması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Yöne göre türevin geometrik yorumu üzerine tartışılması | 1. Vektör uzayına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: [5], 26-33. 2. Tanjant vektörler, tanjant uzayı, yöne göre türev konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 23-34. |
| 3 | Konu Anlatımı: Vektör alanları, vektör alanlarının uzayı vektör alanı yönünde türev ve eğri yönünde yöne göre türev Sınıf-içi Uygulama (30 dk): Verilen vektör alanı yönünde yöne göre türevin hem tanım hem de teoremden hesaplanması ve verilen eğri yönünde yöne göre türev sorularının çözümü Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Bir tanjant vektörü yönündeki yöne göre türev ile bir vektör alanı yönündeki yöne göre türevin karşılaştırılması Kısa Sınav 1 (20 dk.): Ders sonunda, sınav | 1. Tanjant vektör ve yöne göre türeve ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 23-34. 2. Vektör alanları, vektör alanlarının uzayı, vektör alanı yönünde türev ve eğri yönünde yöne göre türev kavramlarının ders öncesinde çalışılması. Kaynak: Ders Kitabı, 34-43. 3. Kısa Sınav 1: (sınav haftasına kadar işlenen konuların tümünün tekrar edilmesi) Kaynak: Ders Kitabı, 6-10; 14-21; 23-43. |
| 4 | Konu Anlatımı: E^n de kovaryant türev: paralel vektör alanı, jeodezik eğri, integral eğrisi Sınıf-içi Uygulama (30 dk): Bir diferansiyellenebilir vektör alanının diğer bir vektör alanı yönündeki kovaryant türevinin hem tanım hem de teorem kullanılarak hesaplanması ve nokta değeri verildiğinde elde edilen sonucun geometrik olarak yorumlanması Sınıf-içi Tartışma (10 dk.): Bir eğri boyunca paralel vektör alanının geometrik yorumu, bir vektör alanına ait integral eğrilerinin o vekt | 1. Bir diferansiyellenebilir fonksiyonun bir tanjant vektörü doğrultusundaki türevi, vektör alanlarının uzayının özellikleri, reel değerli bir fonksiyon ile bir vektör alanının çarpımı ve reel değerli bir fonksiyonun bir vektör alanı yönündeki türevine ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: Ders Kitabı, 26-43. 2. Bir vektör alanının bir diğer vektör alanına göre kovaryant türevi konusunu içeren bölümün okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 44-49. |
| 5 | Konu Anlatımı: Lie operatörü; kotanjant uzay ve 1-formlar Sınıf-içi Uygulama (30 dk.): Lie operatörü ve 1-formlar ile ilgili örnek soru çözümleri Sınıf-içi Tartışma (10 dk.): Kotanjant uzay, 1-formlar, tanjant uzay, tanjant vektör, vektör alanı, vektör alanları uzayı gibi şu ana kadar öğrenilen tanımların farkları üzerine tartışılması ve öğrencilerin kavramları pekiştirmesinin sağlanması | 1. Vektörel çarpım ve özellikleri ile dual uzaya ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynaklar: [5], 168-172; 246-247. [6], 21-23. 2. Lie operatörü, kotanjant uzay ve 1-formlar konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 50-57; 62-63. |
| 6 | Konu Anlatımı: Diferansiyel operatör; gradient, divergens, rotasyonel fonksiyonları Sınıf-içi Uygulama (30 dk.): Gradient, divergens ve rotasyonel fonksiyonlar üzerine karma örnekler ve diferansiyel operatör sorusu çözülmesi Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Bir diferansiyellenebilir fonksiyonun gradientinin rotasyonelinin neden sıfır olduğunun sezgisel olarak yorumlanması Kısa Sınav 2 (20 dk.): Ders sonunda, sınav haftasına kadar işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yap | 1. Kısmi türev ile determinant hesaplamalarına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynaklar: [4], 764-772. [5], 233-238. 2. Gradient, divergens ve rotasyonel fonksiyonları ile diferansiyel operatör konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 64-70; 72-73; 76-79. 3. Kısa Sınav 2: (sınav haftasına kadar işlenen konuların tümünün tekrar edilmesi) Kaynak: Ders Kitabı, 6-10; 14-21; 23-57; 62-70; 72-73; 76-79. |
| 7 | Konu Anlatımı: Türev dönüşümü ve matrisi, regüler dönüşüm Sınıf-içi Uygulama (30 dk.): Türev dönüşümü ve Jacobien matrisinin hem tanım hem de teorem kullanılarak hesaplanması ve yorumlanması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Türev dönüşümünün geometrik olarak yorumlanması | 1. Lineer dönüşüme karşılık gelen matrise ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: [5], 179-184. 2. Türev dönüşümü ve matrisi, regüler dönüşüm konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 81-99. |
| 8 | Ara Sınav 1 | |
| 9 | Konu Anlatımı: E^n uzayında eğriler teorisi: tanım ve örnekler; hız vektörü ve geometrik anlamı; yay uzunluğu; parametre değişimi Sınıf-içi Uygulama (30 dk.): Verilen bir eğrinin hız vektörünün, hızının, teğet vektörünün, yay uzunluk fonksiyonunun ve birim hızlı parametrik gösteriminin bulunması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Eğrilerde parametre değişiminin tercih edilme sebeplerinin, eğride değiştirmeyeceği özelliklerin, geometrik ve hesaplamaya yönelik avantajlarının tartışılmas | 1. R^n uzayında bir vektörün uzunluğu, vektörel fonksiyonun türevi ile parametrik denklemlere ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynaklar: [5], 49. [4], 610-613; 710-711. 2. Eğrinin tanımı, hız vektörü, skaler hız fonksiyonu, skaler hız ve parametre değişimi konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 128-143. |
| 10 | Konu Anlatımı: E^3 Öklid uzayında eğriler teorisi: Frenet vektörleri, Frenet formülleri, eğrilikler ve Frenet düzlemleri Sınıf-içi Uygulama (30 dk.): Verilen bir birim hızlı eğrinin Frenet vektörlerinin, eğriliklerinin ve Frenet düzlemlerinin bulunması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Frenet vektörlerinin ve Frenet formüllerinin, bir eğrinin geometrik yapısının anlaşılmasındaki yerinin tartışılması Kısa Sınav 3 (20 dk.): Ders sonunda, sınav haftasına kadar işlenen konuları | 1. Düzlem denkleminin bulunmasına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: [6], 100-108. 2. E^3 Öklid uzayında Frenet vektörleri, Frenet formülleri, eğrilikler ve Frenet düzlemleri konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 173-181. 3. Kısa Sınav 3: (sınav haftasına kadar işlenen konuların tümünün tekrar edilmesi) Kaynak: Ders Kitabı, 6-10; 14-21; 23-57; 62-70; 72-73; 76-79; 81-99; 128-143; 173-181. |
| 11 | Konu Anlatımı: Eğriliklerin geometrik yorumu, birim hızlı olmayan eğriler için Frenet formülleri Sınıf-içi Uygulama (30 dk.): Verilen birim hızlı olmayan bir eğrinin Frenet vektörlerinin, Frenet formüllerinin ve eğriliklerinin bulunması Sınıf-içi Tartışma (10 dk.): Eğrinin eğriliklerinin geometrik yorumunun detaylı olarak tartışılması | 1. Tek değişkenli bir fonksiyonun seriye açılımına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynak: [3], 584-588. 2. Eğriliklerin geometrik yorumu ve birim hızlı olmayan eğriler için Frenet formülleri konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 182-190. |
| 12 | Konu Anlatımı: E^3 Öklid uzayında eğriler teorisinin temel teoremi, helisler Sınıf-içi Uygulama (30 dk.): Verilen bir eğrinin helis olup olmadığının araştırılması ve helis olması durumunda ekseninin bulunması Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Helislerin temel geometrik özelliklerinin tartışılması | 1. İki vektör arasındaki açı ile birim hızlı eğrilerde Frenet çatısı ve Frenet formüllerine ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynaklar: Ders Kitabı, 173-179. [5], 50. 2. E^3 Öklid uzayında eğriler teorisinin temel teoremi ve helisler konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 190; 222-225. |
| 13 | Konu Anlatımı: İnvolüt-evolüt eğri çifti, Bertrand eğri çifti, bir eğrinin küresel göstergeleri Sınıf-içi Uygulama (30 dk): Verilen eğriler için küresel göstergelerinin, involüt-evolüt veya Bertrand eğri çiftlerinin bulunması ve Frenet vektörlerinin elde edilmesi, Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): İnvolüt–evolüt ve Bertrand eğri çiftlerinin geometrik ilişkileri, ayrıca bir eğrinin küresel göstergelere sahip olmasının ne anlama geldiğinin tartışılması | 1. İki vektörün dikliği, iki vektör arasındaki açı, lineer bağımlılık ile birim hızlı eğrilerde Frenet çatısı ve Frenet formüllerine ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynaklar: Ders Kitabı, 173-179. [5], 23; 50-51. 2. İnvolüt-evolüt eğri çifti, Bertrand eğri çifti, bir eğrinin küresel göstergeleri konularını içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 227-231; 254-258. |
| 14 | Konu Anlatımı: E^3 Öklid uzayında diferansiyel formlar Sınıf-içi Uygulama (30 dk.): Diferansiyel formlar üzerine karışık örnek çözümü Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Diferansiyel formların geometrik anlamı üzerine tartışılması. Kısa Sınav 4 (20 dk.): Ders sonunda, sınav haftasına kadar işlenen konuları içeren bir kısa sınavın yapılması | 1. Kısmi türev ile determinant hesaplamalarına ilişkin ön bilgilerin hatırlanması ve etkinleştirilmesi. Kaynaklar: [4], 764-772. [5], 233-238. 2. E^3 Öklid uzayında diferansiyel formlar konusunu içeren bölümlerin okunması. Kaynak: Ders Kitabı, 100-116. 3. Kısa Sınav 4: (sınav haftasına kadar işlenen konuların tümünün tekrar edilmesi) Kaynak: Ders Kitabı, 6-10; 14-21; 23-57; 62-70; 72-73; 76-79; 81-99; 128-143; 173-190; 222-225; 227-231; 254-258; 100-116. |
| 15 | Konu Anlatımı: Bilgisayar destekli uygulamalar Sınıf-içi Uygulama (30 dk.): MATLAB, Maple veya Python gibi program ve uygulamalar kullanılarak helis, involüt-evolüt eğri çifti, Bertrand eğri çifti vb. eğrilerin görsellerinin çizdirilmesi Sınıf-içi Tartışma (5 dk.): Bilgisayar destekli uygulamaları kullanmanın diferansiyel geometri 1 dersinin daha iyi anlaşılması konusundaki katkılarının tartışılması | 1. Derste MATLAB, Maple veya Python dillerinin birinde dersin konuları üzerine yapılacak bir uygulamanın kodlarının hazırlanması ve örneklendirilmesi |
| 16 | Final |
Değerlendirme Sistemi
| Etkinlikler | Sayı | Katkı Payı |
|---|---|---|
| Devam/Katılım | ||
| Laboratuar | ||
| Uygulama | ||
| Arazi Çalışması | ||
| Derse Özgü Staj | ||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 4 | 20 |
| Ödev | ||
| Sunum/Jüri | ||
| Projeler | ||
| Seminer/Workshop | ||
| Ara Sınavlar | 1 | 40 |
| Final | 1 | 40 |
| Dönem İçi Çalışmaların Başarı Notuna Katkısı | ||
| Final Sınavının Başarı Notuna Katkısı | ||
| TOPLAM | 100 | |
AKTS İşyükü Tablosu
| Etkinlikler | Sayı | Süresi (Saat) | Toplam İşyükü |
|---|---|---|---|
| Ders Saati | 14 | 3 | |
| Laboratuar | |||
| Uygulama | |||
| Arazi Çalışması | |||
| Sınıf Dışı Ders Çalışması | 14 | 3 | |
| Derse Özgü Staj | |||
| Ödev | |||
| Küçük Sınavlar/Stüdyo Kritiği | 4 | 2 | |
| Projeler | |||
| Sunum / Seminer | |||
| Ara Sınavlar (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 20 | |
| Final (Sınav Süresi + Sınav Hazırlık Süresi) | 1 | 30 | |
| Toplam İşyükü : | |||
| Toplam İşyükü / 30(s) : | |||
| AKTS Kredisi : | |||
| Diğer Notlar | Yok |
|---|
